1][j],f[i][j−1])(x[i]≠y[j])f[i−1][j−1]+1(x[i]=y[j])" role="presentation"> f[i][j]={max(f[i−1][j],f[i][j−1])(x[i]≠y[j])f[i−1][j−1]+1(x[i]=y[j]) $$f[i][j]=\{\begin{array}{l}max(f[i-1][j],f[i][j-1])(x[i]\ne y[j])\\ f[i-1][j-1]+1(x[i]=y[j])\end{array}$$ $$f[i][j]= \begin{cases} max(f[i-1][j],f[i][j-1])(x[i]≠y[j])\\ f[i-1][j-1]+1(x[i]=y[j]) \end{cases}$$
其意義就是如果當前這兩個元素不相等，那麼從上兩個決策中選最優，如果相等，那麼該元素可以組成最長公共子序列的一部分，更新狀態。
那麼 $O(n^2)$的時間解決該問題。

程式碼實現如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s1,s2;
char a[5050],b[5050];
int f[5050][5050]={},maxx=0;
int main()
{
    cin>>s1>>s2;
    for (int i=0;i<s1.length();i++)
        a[i+1]=s1[i];
    for (int i=0;i<s2.length();i++)
        b[i+1]=s2[i];
    for(int i=1;i<=s1.length();i++)
    {
        for(int j=1;j<=s2.length();j++)
        {
            if (a[i]==b[j])f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
            else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            maxx=max(f[i][j],maxx);
        }
    }
    cout<<maxx<<endl;
    return 0;
} 

交錯匹配

題目描述

有兩行自然數，UP[1..N]，DOWN[1..M]，如果UP[I]=DOWN[J]=K，那麼上行的第I個位置的數就可以跟下行的第J個位置的數連一條線，稱為一條K匹配，但是同一個位置的數最多隻能連一條線。

另外，每個K匹配都必須且至多跟一個L匹配相交且K≠L 。現在要求一個最大的匹配數。

例如：以下兩行數的最大匹配數為8

輸入格式

第一行有兩個正整數N和M。第二行N個UP的自然數，第三行M個DOWN的自然數。其中0 < N、M<=200，UP、DOWN的數都不超過32767。
輸出格式

一個整數：最大匹配數
樣例資料

input1

12 11
1 2 3 3 2 4 1 5 1 3 5 10
3 1 2 3 2 4 12 1 5 5 3

output1

8

input2

4 4
1 1 3 3
1 1 3 3

output2

0

資料規模與約定

時間限制：1s

空間限制：256MB

分析

這道題也是顯而易見的雙程序入門題，和最長公共子序列相似。對於狀態的設定顯而易見，$f[i][j]$代表UP串匹配到i，DOWN串匹配到j的最大匹配數。那麼顯然一開始$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])$。那麼我們依據題面考慮情況：
①UP[i]=DOWN[j]，不能進行匹配。
②UP[i]≠DOWN[j]，我們在兩個序列中找到上一個出現對應元素的位置，由於不能再次交錯，匹配數從上一個位置轉移而來，匹配數加2。
可得狀態轉移方程如下：

$$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])\\ f[i][j]=max(f[i][j],f[lastI][lastJ]+2)(UP[i]≠DOWN[j])$$
怎麼找上一個對應元素出現的位置呢，對於這道題，暴力查詢即可解決。

程式碼實現如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(int &k)
{
    int x=0,w=0;char ch;
    while(!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    k=(w?-x:x);return;
}
int n,m,a[280]={},b[280]={},f[280][280]={};
inline void input()
{
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)read(b[i]);
}
inline int findlast(int list[],int last,int value)
{
    for(int i=last-1;i>=1;i--)
    {
        if(list[i]==value)return i;
    }
    return 0;
}
inline void solve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            if(a[i]==b[j])continue;
            int lastI=findlast(a,i,b[j]);
            int lastJ=findlast(b,j,a[i]);
            if(lastI&&lastJ)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[lastI-1][lastJ-1]+2);
            }
        }
    }
}
inline void output()
{
    cout<<f[n][m]<<endl;
}
int main()
{
    input();
    solve();
    output();
    return 0;
}

配置魔藥

題目描述

在《Harry Potter and the Chamber of Secrets》中，Ron的魔杖因為坐他老爸的Flying Car撞到了打人柳，不幸被打斷了，從此之後，他的魔杖的魔力就大大減少，甚至沒辦法執行他施的魔咒，這為Ron帶來了不少的煩惱。

這天上魔藥課，Snape要他們每人配置一種魔藥（不一定是一樣的），Ron因為魔杖的問題，不能完成這個任務，他請Harry在魔藥課上(自然是躲過了Snape的檢查)幫他配置。 現在Harry面前有兩個坩堝，有許多種藥材要放進坩堝裡，但坩堝的能力有限，無法同時配置所有的藥材。一個坩堝相同時間內只能加工一種藥材，但是不一定每一種藥材都要加進坩堝裡。加工每種藥材都有必須在一個起始時間和結束時間內完成（起始時間所在的那一刻和結束時間所在的那一刻也算在完成時間內），每種藥材都有一個加工後的藥效。

現在要求的就是Harry可以得到最大的藥效。
輸入格式

輸入檔案的第一行有2個整數，一節魔藥課的t（1≤t<≤500）和藥材數n（1≤n≤100）。

輸入檔案第2行到n+1行中每行有3個數字，分別為加工第i種藥材的起始時間t1、結束時間t2、（1≤t1≤t2≤t）和藥效w（1≤w≤100）。
輸出格式

只有一行，只輸出一個正整數，即為最大藥效。
樣例資料

input

7 4
1 2 10
4 7 20
1 3 2
3 7 3

output

35

【註釋】本題的樣例是這樣實現的：第一個坩堝放第1、4種藥材，第二個坩堝放第2、3種藥材。這樣最大的藥效就為10+20+2+3=35。
資料規模與約定

對於30%的資料 1<=t<=500 1<=n<=15 1<=w<=100 1<=t1<=t2<=t

對於100%的資料 1<=t<=500 1<=n<=100 1<=w<=100 1<=t1<=t2<=t

時間限制：1s

空間限制：256MB

分析

“兩個坩堝”代表了這道題的雙程序本質。對於草藥，每一個草藥都有時間先後的問題，我們將他們按照時間排一下序，就能有序的解決問題。那麼剩下的問題該如何解決呢？
解法1：效仿揹包問題
仔細讀題，是不是發現這道題很像揹包問題？只不過他有兩個揹包，物品花費的是限定的時間段罷了。事實上，我們可以效仿揹包寫法，設定狀態$f[i][j][k]$代表前i種草藥，第一個坩堝用時j，第二個坩堝用時k的最大價值。那麼這樣就兼顧了題面的雙程序本質。
考慮狀態轉移，對於每一個草藥的決策，有三種情況：
①不用該草藥
②放入坩堝1
③放入坩堝2
那麼狀態轉移方程根據這三種情況轉移即可：

f[i][j][k]=f[i−1][j][k]f[i][j][k]={max(f[i][j][k],f[i−1][begin[i]−

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