單源最短路徑（Dijkstra）——貪心演算法
Dijkstra演算法是解單源最短路徑問題的貪心演算法。其基本思想是，設定頂點集合點集合S並不斷地做貪心選擇來擴充這個集合。一個頂點屬於集合S當且僅當從源到該頂點的最短路徑長度已知。初始時，S中僅含有源。設u是G的其一頂點。把從源到u且中間只經過S中頂點的路稱為從源到u的特殊路徑，並用陣列Distance記錄當前每個頂點所對應的最短特殊路徑長度。Dijkstra演算法每次從V-S中取出具有最短特殊路長度的頂佔，Distance就記錄了從源到所有其它頂點之間最短路徑長度。
例如下圖中的有向圖，應用Dijkstra演算法計算從源頂點1到其它頂點最短路徑的過程列表在下表中。
演算法過程描述：
表格中預設選取的起始頂點為1頂點，所以本問題就轉化為求解1頂點到2, 3, 4, 5這幾個頂點的最短路徑。首先初始條件列出1頂點到2, 3, 4, 5各個頂點的距離，這個距離直接在圖的儲存鄰接矩陣中得到，選取距離最近的一個也就是2頂點加入集合S，下面要進行的是比較關鍵的一步，這個時候應該去獲取3, 4, 5三個頂點到集合S的最短距離(從1頂點出發，可以經過S中的任意頂點)：將1到2頂點的距離加上2到各個點的距離，然後用這個距離來同1到各個頂點的距離相比較，誰小就取誰，以此類推，然後每次取Distance[]最小的值進入集合S。
這樣下去，Distance[]中存放的就是每個頂點到集合S的最短距離，比如當前的集合只有1, 2，按照規則頂點4應該入選進集合S，因為Distance[3]沒有入選集合的頂點中對應的Distance[]最小的頂點。現在需要計算3和5到新集合S={1, 2, 4}的最短距離，這個時候就只需要將Distance[2]和Distance[4]中的值（現在這裡面的值表示集合S={1, 2}到頂點3和5頂點的最短距離），但是現在集合中加入了頂點4，怎麼計算？計算方法如下：
Distance[3] + 鄰接矩陣中頂點4到頂點3的距離 < Distance[2] ?
Distance[3]：(頂點4到S={1, 2}的最短距離)
Distance[2]: (頂點3到S={1, 2}的最短距離)
如果這個小於成立，那麼很明顯新的集合到頂點3的最小距離應該是先從S={1, 2}到頂點4的最短距離，然後再從頂點4到頂點3。
由於每一次的比較都是在上一次集合的最優結果中計算的，所以新計算出來的頂點3到集合S={1, 2, 4}的最短距離也是全域性最優的。
對應的C語言程式碼如下：
#include <stdio.h>
#define M 65535 //無窮大
#define N 5 //頂點數
//Dijkstra演算法函式，求給定頂點到其餘各點的最短路徑
//引數：鄰接矩陣、出發點的下標、結果陣列、路徑前一點記錄
void Dijkstra(int Cost[][N], int v0, int Distance[], int prev[])
{
int s[N];
int mindis,dis;
int i, j, u;
//初始化
for(i=0; i<N; i++)
{
Distance[i] = Cost[v0][i];
s[i] = 0;
if(Distance[i] == M)
prev[i] = -1;
else
prev[i] = v0;
}
Distance[v0] = 0;
s[v0] = 1; //標記v0
//在當前還未找到最短路徑的頂點中，
//尋找具有最短距離的頂點
for(i=1; i < N; i++)
{//每迴圈一次，求得一個最短路徑
mindis = M;
u = v0;
for (j=0; j < N; j++) //求離出發點最近的頂點
if(s[j]==0 && Distance[j]<mindis)
{
mindis = Distance [j];
u = j;
} // if語句體結束，j迴圈結束
s[u] = 1;
for(j=0; j<N; j++) //修改遞增路徑序列（集合）
if(s[j]==0 && Cost[u][j]<M)
{ //對還未求得最短路徑的頂點
//求出由最近的頂點 直達各頂點的距離
dis = Distance[u] +Cost[u][j];
// 如果新的路徑更短，就替換掉原路徑
if(Distance[j] > dis)
{
Distance[j] = dis;
prev[j] = u;
}
} // if 語句體結束，j迴圈結束
} // i迴圈結束
}
// 輸出最短路徑
// 引數：路徑前一點記錄、出發點的下標、到達點下標
void PrintPrev(int prev[],int v0,int vn)
{
int tmp = vn;
int i, j;
//臨時存路徑
int tmpprv[N];
//初始化陣列
for(i=0; i < N; i++)
tmpprv[i] = 0;
//記錄到達點下標
tmpprv[0] = vn+1;
//中間點用迴圈記錄
for(i =0, j=1; j < N ;j++)
{
if(prev[tmp]!=-1 && tmp!=0)
{
tmpprv[i] = prev[tmp]+1;
tmp = prev[tmp];
i++;
}
else break;
}
//輸出路徑，陣列逆向輸出
for(i=N-1; i >= 0; i--)
{
if(tmpprv[i] != 0)
{ //排除0元素
printf("V%d", tmpprv[i]);
if(i) //不是最後一個輸出符號
printf("-->");
}
}
printf("-->V%d", vn+1);
}
//主函式
int main()
{
//給出有向網的頂點陣列
char *Vertex[N]={"V1", "V2", "V3", "V4", "V5"};
//給出有向網的鄰接矩陣
int Cost[N][N]={
{0, 10, M, 30, 100},
{M, 0, 50, M, M},
{M, M, 0, M, 10},
{M, M, 20, 0, 60},
{M, M, M, M, 0},
};
int Distance[N]; //存放求得的最短路徑長度
int prev[N]; //存放求得的最短路徑
int i;
//呼叫Dijkstra演算法函式，求頂點V1到其餘各點的最短路徑
//引數：鄰接矩陣、頂點數、出發點的下標、 結果陣列
Dijkstra(Cost, 0, Distance, prev);
for(i=0; i < N; i++)
{
//輸出最短路徑長度
printf("%s-->%s:%d\t", Vertex[0], Vertex[i], Distance[i]);
//輸出最短路徑
PrintPrev(prev, 0, i);
printf("\n");
}
return 0;
}
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作者：夢想與堅持
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/laoniu_c/article/details/38455255
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