演算法初級01——認識時間複雜度、對數器、 master公式計算時間複雜度、小和問題和逆序對問題
雖然以前學過,再次回顧還是有別樣的收穫~
認識時間複雜度
- 常數時間的操作:一個操作如果和資料量沒有關係,每次都是固定時間內完成的操作,叫做常數操作。
- 時間複雜度為一個演算法流程中,常數運算元量的指標。常用O(讀作big O)來表示。具體來說,在常數運算元量的表示式中,只要高階項,不要低階項,也不要高階項的係數,剩下的部分如果記為f(N),那麼時間複雜度為O(f(N))。
- 評價一個演算法流程的好壞,先看時間複雜度的指標,然後再分析不同資料樣本下的實際執行時間,也就是常數項時間。
例子一
一個簡單的理解時間複雜度的例子
一個有序陣列A,另一個無序陣列B,請列印B中的所有不在A中的數,A陣列長度為N,B陣列長度為M。
演算法流程1:對於陣列B中的每一個數,都在A中通過遍歷的方式找一下;
演算法流程2:對於陣列B中的每一個數,都在A中通過二分的方式找一下;
演算法流程3:先把陣列B排序,然後用類似外排的方式列印所有在A中出現的數;
三個流程,三種時間複雜度的表達...
如何分析好壞?
例子二
對數器的概念和使用
0,有一個你想要測的方法a,
1,實現一個絕對正確但是複雜度不好的方法b,
2,實現一個隨機樣本產生器
3,實現比對的方法
4,把方法a和方法b比對很多次來驗證方法a是否正確。
5,如果有一個樣本使得比對出錯,列印樣本分析是哪個方法出錯
6,當樣本數量很多時比對測試依然正確,可以確定方法a已經正確。
import java.util.Arrays; public class Code_01_InsertionSort { public static void insertionSort(int對數器的例子[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } for (int i = 1; i < arr.length; i++) { for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) { swap(arr, j, j + 1); } } } public static void swap(int[] arr, int i, int j) { arr[i] = arr[i] ^ arr[j]; arr[j] = arr[i] ^ arr[j]; arr[i] = arr[i] ^ arr[j]; } // for test public static void comparator(int[] arr) { Arrays.sort(arr); } // for test public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) { int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())]; for (int i = 0; i < arr.length; i++) { arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random()); } return arr; } // for test public static int[] copyArray(int[] arr) { if (arr == null) { return null; } int[] res = new int[arr.length]; for (int i = 0; i < arr.length; i++) { res[i] = arr[i]; } return res; } // for test public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) { if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) { return false; } if (arr1 == null && arr2 == null) { return true; } if (arr1.length != arr2.length) { return false; } for (int i = 0; i < arr1.length; i++) { if (arr1[i] != arr2[i]) { return false; } } return true; } // for test public static void printArray(int[] arr) { if (arr == null) { return; } for (int i = 0; i < arr.length; i++) { System.out.print(arr[i] + " "); } System.out.println(); } // for test public static void main(String[] args) { int testTime = 500000; int maxSize = 100; int maxValue = 100; boolean succeed = true; for (int i = 0; i < testTime; i++) { int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue); int[] arr2 = copyArray(arr1); insertionSort(arr1); comparator(arr2); if (!isEqual(arr1, arr2)) { succeed = false; break; } } System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!"); int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue); printArray(arr); insertionSort(arr); printArray(arr); } }
例子三
氣泡排序細節的講解與複雜度分析
時間複雜度O(N^2),額外空間複雜度O(1)
public static void bubbleSort(int[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } for (int e = arr.length - 1; e > 0; e--) { for (int i = 0; i < e; i++) { if (arr[i] > arr[i + 1]) { swap(arr, i, i + 1); } } } }
例子四
選擇排序的細節講解與複雜度分析
時間複雜度O(N^2),額外空間複雜度O(1)
public static void selectionSort(int[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) { int minIndex = i; for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) { minIndex = arr[j] < arr[minIndex] ? j : minIndex; } swap(arr, i, minIndex); } }
例子五
插入排序(類似整理撲克牌)的細節講解與複雜度分析
時間複雜度O(N^2),額外空間複雜度O(1)
public static void insertionSort(int[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } for (int i = 1; i < arr.length; i++) { for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) { swap(arr, j, j + 1); } } }
例子六
剖析遞迴行為和遞迴行為時間複雜度的估算
一個遞迴行為的例子
master公式的使用
T(N) = a*T(N/b) + O(N^d) [a是過程發生次數,N/b是子問題,O(N^d)剩下的時間複雜度]
1) log(b,a) > d -> 複雜度為O(N^log(b,a))
2) log(b,a) = d -> 複雜度為O(N^d * logN)
3) log(b,a) < d -> 複雜度為O(N^d)
補充閱讀:www.gocalf.com/blog/algorithm-complexity-and-master-theorem.html
例子七
歸併排序的細節講解與複雜度分析
時間複雜度O(N*logN),額外空間複雜度O(N)
public static void mergeSort(int[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } mergeSort(arr, 0, arr.length - 1); } public static void mergeSort(int[] arr, int l, int r) { if (l == r) { return; } int mid = l + ((r - l) >> 1); mergeSort(arr, l, mid); mergeSort(arr, mid + 1, r); merge(arr, l, mid, r); } public static void merge(int[] arr, int l, int m, int r) { int[] help = new int[r - l + 1]; int i = 0; int p1 = l; int p2 = m + 1; while (p1 <= m && p2 <= r) { help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++]; } while (p1 <= m) { help[i++] = arr[p1++]; } while (p2 <= r) { help[i++] = arr[p2++]; } for (i = 0; i < help.length; i++) { arr[l + i] = help[i]; } }
例子八
小和問題和逆序對問題
小和問題
在一個數組中,每一個數左邊比當前數小的數累加起來,叫做這個陣列的小和。求一個數組的小和。
例子:
[1,3,4,2,5]
1左邊比1小的數,沒有;
3左邊比3小的數,1;
4左邊比4小的數,1、3;
2左邊比2小的數,1;
5左邊比5小的數,1、3、4、2;
所以小和為1+1+3+1+1+3+4+2=16
逆序對問題
在一個數組中,左邊的數如果比右邊的數大,則折兩個數構成一個逆序對,請列印所有逆序對。
1 public static int smallSum(int[] arr) { 2 if (arr == null || arr.length < 2) { 3 return 0; 4 } 5 return mergeSort(arr, 0, arr.length - 1); 6 } 7 8 public static int mergeSort(int[] arr, int l, int r) { 9 if (l == r) { 10 return 0; 11 } 12 int mid = l + ((r - l) >> 1); 13 return mergeSort(arr, l, mid) + mergeSort(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r); 14 } 15 16 public static int merge(int[] arr, int l, int m, int r) { 17 int[] help = new int[r - l + 1]; 18 int i = 0; 19 int p1 = l; 20 int p2 = m + 1; 21 int res = 0; 22 while (p1 <= m && p2 <= r) { 23 res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0; 24 help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++]; 25 } 26 while (p1 <= m) { 27 help[i++] = arr[p1++]; 28 } 29 while (p2 <= r) { 30 help[i++] = arr[p2++]; 31 } 32 for (i = 0; i < help.length; i++) { 33 arr[l + i] = help[i]; 34 } 35 return res; 36 }答案