Petri網學習（四）：Petri網的結構性質

阿新 • • 發佈：2018-11-07

一、結構有界性&守恆性

1. 結構有界性

定義：設N=(P,T;F)為一個網。對N賦予任意的初始標識M0，網(N,M0)都是有界的，則稱N為結構有界網；

再回憶一下什麼是有界petri網：在PN=(P,T;F,M0)中， $\forall p\in P$ ，庫所p都有界，則稱PN為有界petri網。區別在於是不是任意初始標識
什麼是庫所有界： $\forall M\in R(M_0),M(p)\leqslant B$

定理：設A為網N=(P,T;F)的關聯矩陣，N是結構有界網的充分必要條件是：存在一個m（m=|P|）維正整數向量Y，使得AY<=0

證明充分性思路：要證明一個網是結構有界網，則要證明 $\forall M_0,\forall M\in R(M_0):M(k)\leqslant$ 一個正整數

定義：設N=(P,T;F)為一個網， $P_1\subseteq P$

，對於 $\forall M_0$ ， $\forall p\in P_1$ 的p都是有界的，則稱P1為N的結構有界庫所子集。當P1={p}時，稱庫所p是結構有界的。若p不是結構有界的，則稱p為結構無界庫所。

定理：設A為網N=(P,T;F)的關聯矩陣， $P_1\subseteq P$ 是網N的結構有界庫所子集的充分必要條件是：存在非平凡的非負整數向量Y，使得AY<=0，且 $\forall p_i\in P,Y(p_i)>0$

2. 守恆性

定義：設N=(P,T;F)為一個網，如果存在一個m(m=|P|)維正整數權向量Y，使得對於任意初始標識M0， $\forall M\in M_0$

，有：

$\sum_{i=1}^m M(p_i)Y(i)=\sum_{j=1}^m M_0(p_j)Y(j)$ ，則N是守恆的；特別的,當Y=[1,1,...,1]時， $\sum_{i=1}^m M(p_i)=\sum_{j=1}^m M_0(p_j)$ ，稱N是嚴格守恆的。

$\sum_{i=1}^m M(p_i)Y(i)=M^TY$ ； $\sum_{j=1}^m M_0(p_j)Y(j)=M_0^TY$ ；

守恆是指網N從任何初始狀態開始執行，這執行的過程中標識數的權和保持不變；

嚴格守恆是指網N從任何初始狀態開始執行，這執行過程中標識數的和保持不變；

定理1：設A為網N=(P,T;F)的關聯矩陣，N是守恆網的充分必要條件是：存在一個m（m=|P|）維正整數向量Y，使得AY=0；

推理1：設A為網N=(P,T;F)的關聯矩陣，N是嚴格守恆網的充分必要條件是：存在一個m（m=|P|）維正整數向量Y=[1,1,1,...,1]，使得AY=0；

推理2：若N是守恆網，則N必然是結構有界網；

定義2：設N(P,T;F)為一個網， $P_1\subseteq P$ ，若存在一個m(m=|P|)維非負整數向量Y，使得 $\sum_{p_i\in P_1}M(p_i)Y(i)=\sum_{p_j\in P_1}M_0(p_j)Y(j)$ ，則稱網N是關於庫所集P1部分守恆的。

定理：設A為網N=(P,T;F)的關聯矩陣。網N關於庫所子集P1為部分守恆的充分必要條件是：存在m維非負整數向量Y，使得AY=0。

二、可重複性&協調性

1. 可重複性

定義1：設N=(P,T;F)為一個網，若存在一個N的初始標識M0，和一個無限變遷序列 $\sigma$ ，使得 $M_0[\sigma>$ ，且 $\forall t\in T$ 都無限次地出現，則稱N為一個可重複網。M0稱為N的一個可重複標識。

定理1：設A為網N=(P,T;F)的關聯矩陣，網N是可重複網的充分必要條件是：存在n維正整數向量X，使得 $A^TX\geqslant 0$ 。

推論：設N=(P,T;F)為一個可重複網，M0是N的一個可重複標識，那麼對任意的 $M\geqslant M_0$ ，M也是N的一個可重複標識。

2. 協調性

定義2：設設N=(P,T;F)為一個網，若存在一個N的初始標識M0和一個變遷序列 $\sigma \in T^*$ ，使得 $M_0[\sigma>M_0$ ，且 $\forall t\in T, \#(\sigma ,t)\geqslant 1$ ，則稱網N是一個協調網。

定理2：設A為網N=(P,T;F)的關聯矩陣，網N是協調網的充分必要條件是：存在n維正整數向量X，使得 $A^TX=0$ 。

三、不變數

定義1：設N=(P,T;F)是一個網，m=|P|，n=|T|，A是N的關聯矩陣

1.如果存在非平凡的m維非負整數向量Y，使得AY=0，則稱Y是N的一個S-不變數。

2.如果存在非平凡的n維非負整數向量X，使得 $A^TX=0$ ，則稱X是N的一個T-不變數。

定理1：設Y1和Y2為N=(P,T;F)的兩個S-不變數，X1和X2為N的兩個T-不變數。那麼

Y1 + Y2是網N的S-不變數， X1 + X2是網N的T-不變數。

若Y1 - Y2 >0，則Y1 - Y2也是網N的一個網S-不變數；若X1 - X2 >0 ， X1 - X2是網N的T-不變數。

定義2：設N=(P,T;F)是一個網，m=|P|，n=|T|，A是N的關聯矩陣。Y1（X1）是N的一個S-不變數（T-不變數），若對於任意的Y<Y1（X<X1）都不是N的S-不變數（T-不變數），則稱Y1（X1）是N的一個極小S-不變數（極小T-不變數）

定義2.1：設 $V_1,V_2,...V_k$ 都是n維非負整數向量，如果存在一組非負整數 $c_1,c_2,...,c_k$ ，使得 $V=c_1V_1+c_2V_2+...+c_kV_k$ ，則稱V被 $V_1,V_2,...V_k$ 非負整係數線性表出，或稱V是 $V_1,V_2,...V_k$ 的非負整係數線性組合。

定理2：一個網N的任意一個S-不變數（T-不變數）都是網N的極小S-不變數（極小T-不變數）的非負整係數線性組合

定義3.1：設Y，X分別為網N=(P,T;F)的S-不變數和T-不變數。記：

$||Y||=\left \{ p_i\in P|Y(i)>0\right \}$ ；（S-不變數的Y支集）

$||X||=\left \{ t_j\in T|X(j)>0\right \}$ ；（T-不變數的X支集）

並分別稱他們為S-不變數的Y支集，T-不變數的X支集

定義3.2：設Y是網N=(P,T;F)的一個S-不變數，||Y||=P1。如果任意滿足||Y1||=P1，且Y1<Y的m維非負整數向量Y1都不是N的S-不變數，則稱Y是立於支集P1上的極小S-不變數。同理可定義立於支集T1上的極小T-不變數。

（立於xx支集上的極小S-不變數=A，極小S-不變數=B；A和B之間的區別是：A不一定是B，但B一定是某種A。A關心的是支集，B關心的是全集）

定義3.3：設Y為網N=(P,T;F)的一個S-不變數，||Y||=P1，如果任意的 $P_2\subset P_1$ 都不是網N的S-不變數的支集，則稱P1是網N的S-不變數的極小支集。同理可定義網N的T-不變數的極小支集。

關於不變數的一些定理：

1.設P1，P2是網N=(P,T;F)的兩個S-不變數的支集，則 $P_1\cup P_2$ 也是網N的一個S-不變數支集；

2.網N=(P,T;F)是一個守恆網，當且僅當P是N的一個S-不變數支集；網N是一個協調網，當且僅當T是N的一個T-不變數支集

3.對每個極小支集P1（T1），立於極小支集P1（T1）上的極小S-不變數（極小T-不變數）是唯一的。

4.一個網N的任意一個S-不變數（T-不變數）都是立於支集的極小S-不變數（極小T-不變數）的非負有理係數的線性組合。如果網N每個立於支集上的極小S-不變數（極小-T不變數）都是0-1向量，則網N的任意一個S-不變數（T-不變數）都是立於支集的極小S-不變數（極小T-不變數）的非負整係數的線性組合。

個人對不變數的總結：

四、死鎖&陷阱

死鎖：前集是後集的子集

陷阱：後集是前集的子集

Petri網學習（四）：Petri網的結構性質

一、結構有界性&守恆性 1. 結構有界性定義：設N=(P,T;F)為一個網。對N賦予任意的初始標識M0，網(N,M0)都是有界的，則稱N為結構有界網；再回憶一下什麼是有界petri網：在PN=(P,T;F,M0)中，，庫所p都有界，則稱PN為有界petri

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2. 協調性

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四、死鎖&陷阱

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