exCRT

• 求解韓信點兵問題，常見的就是合併不同\(mod\)。
• 先mo一發高神的板子

for(R i=2;i<=n;++i){
    ll Y1,Yi,lcm=Lcm(p[i],p[1]);
    exgcd(p[1],p[i],a[i]-a[1],Y1,Yi);
    add(a[1],mul(p[1],Y1,lcm),lcm),p[1]=lcm;
}

• 思想是合併方程組，現在假設我們要求解的是：
  \[x-p_0*y_0=a_0\]\[x-p_i*y_i=a_i\]
• \(x\)是實際的值，顯然有：
  \[p_0*y_0-p_i*y_i=a_i-a_0\]
• 是\(exgcd\)
  的形式，把\(y_0\)和\(y_i\)解出來。
• 此時\[p_0*y_0 = a_i-a_0\ \ \ mod \ p_i\]
• 所以讓\(y_0\)對\(p_i\)取模，回代到\[x=p_0*y_0+a_0\]
• 此時\(x\)是在\(mod\ p_i*p_0\)意義下，取模後便是新的\(a_0\)了。

• 最後更新\(p_0\)

• excrt就是把\(p_0*=p_i\)改成\(p_0=lcm(p_0,p_i)\)罷了。

• 模板

BSGS

• 拔山蓋世？

• 求

  \[y^x≡z\ mod\ p\]

• 設\(x=i*m-j\)，其中\(m=\sqrt p+1\)則

  \[y^j*z≡y^{i*m}\]

• 列舉\(j\)，把對應的\(y^j*z\)放在\(hash\)表裡。或者也可以用\(map\)
• 注意這個時候的\(j\)要取最大值，從小往大列舉直接附值即可。
• 列舉\(i\)，查對應的\(y^{i*m}\)，如果有值，答案就是\(i*m-j\)了。
• 複雜度\(O(\sqrt p)\)
• 注意前提條件\(gcd(y, p) = 1\)

• 如果\(y\ mod\ p==0\)，則無解。

• \(upd\ on\ 11.7\)
• 首先有個模板題P4454 [CQOI2018]破解D-H協議

• 注意到

  \[y^j*z≡y^{i*m}\]

• 這個東西中\(i*m-j\ge 0\)恆成立，所以在預處理時要\(j\)

  要從\(0\)開始到\(m\)，但是查表的時候\(i\)要從\(1\)開始到\(m\)。

  同餘最短路

• 用一些數去拼湊出給定的數。
• 以最小值建立剩餘系，令\(f_i\)表示在拼湊出長度\(mod\)最小值為\(i\)的最小花費。
• 顯然每一個\(f_i\)都是這個剩餘系中的最小值，且相互獨立。
• 連邊後做最短路即可。
• 不能拼湊出的最大值即位\(max(f_i-w_0)\)，\(w_0\)是剩餘系模數。
• [x] HDU 6071 Lazy Running
• 給出四個點1，2，3，4，1和2，2和3，3和4，4和1之間有路相連，現在從2點出發，最後回到2點，要求路徑大於等於\(K\)，問路徑長度最短是多少，\(K\leq 10^{18},d\leq 3*10^4\)。
• 同餘最短路套路了，取一條與\(2\)相連的權值最小的邊\(w\)。
• 若存在一條從起點到終點的長度為k的路徑，那麼必然存在一條長度為\(k+2w\)的路徑。
• 即只要一開始在那條邊上往返走就好了。
• 設\(d_{i,j}\)表示從起點到\(i\)，路徑長度模\(2w\)為\(j\)時，路徑長度的最小值。

• 然後\(dij\)預處理\(d\)，最後列舉所有剩餘系，如果大於等於\(K\)就恰好更新答案，否則補上剩下除以\(2*w\)向上取整數。

  exgcd

• 求解\(a*x+b*y=c\)的最小特解。
• 注意在某些題目中要判斷是否有解（裴蜀定理）。

• 設\(f=gcd(a,b,c)\)，有一些題目中\(x=0\)要還原成\(b\)，但是此時應該要還原成\(\frac {b}{gcd}\)，這樣才能保證最小正整解。

  盧卡斯定理

• 處理計算組合時取模數特別小的時候，往往小於\(n,m\)。

• 對於質數而言，
  \[C_n^m=C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p }*C_{n/p}^{m/p }\]

  裴蜀定理

• \(a*x+b*y=c\)成立的充要條件是\(gcd(a,b)|c\).

  組合計數

• 這不是計數裡面的東西嗎咕咕。

  線性篩逆元

• 假設現在要求\(inv_i\)，那麼
• 有\(x*i+j=p\)，此時\(j=p\ mod\ i\)，\(x=\frac {p}{i}\)
• 在\(p\)剩餘系下，那麼\(inv_i=-1*x*inv_j\)

• 所以\(inv(i)=-inv(p\ mod\ i)*(p/i)\)

  三分法

• 咕咕。

  高斯消元

• 我採用的是高斯約旦消元法。
• 先找到係數最大的點提到當前行，然後消為\(1\)，在把其他所有行的這一列消為\(0\)。
• 這樣就省去了迴帶的過程。
• 無解情況：所有係數全為0但是值不為0
• 不唯一解情況：所有係數全為0值也為0

• 注意要先判斷無解再判斷解不唯一。