Trie是一種常見的資料結夠，可以實現字首匹配（hash是不行的），而且對於詞典搜尋來說也是O(1)的時間複雜度，雖然比不上Hash，但是空間會省不少。

Trie樹主要應用在資訊檢索領域，非常高效。今天我們講Double Array Trie，請先把Trie樹忘掉，把資訊檢索忘掉，我們來講一個確定有限自動機（deterministic finite automaton ，DFA）的故事。所謂“確定有限自動機”是指給定一個狀態和一個變數時，它能跳轉到的下一個狀態也就確定下來了，同時狀態是有限的。請注意這裡出現兩個名詞，一個是“狀態”，一個是“變數”，下文會舉例說明這兩個名詞的含義。

舉個例子，假設我們一共有10個漢字，每個漢字就是一個“變數”。我們為每個漢字編個序號。

             表1. “變數”的編號

這10個漢字一共可以構成6個詞語：啊，埃及，阿膠，阿根廷，阿拉伯，阿拉伯人。　　　　　　　　　

這裡的每個詞以及它的任意字首都是一個“狀態”，“狀態”一共有10個：啊,阿,埃,阿根,阿根廷,阿膠,阿拉,阿拉伯,阿拉伯人,埃及

我們把DFA圖畫出來:

　　　　　　　　圖1. DFA，同時也是Trie樹

在圖中每個節點代表一個“狀態”，每條邊代表一個“變數”，並且我們把變數的編號也標在了圖中。

下面我們構造兩個int陣列：base和check，它們的長度始終是一樣的。陣列的長度定多少並沒有嚴格的規定，反正隨著詞語的插入，陣列肯定是要擴容的。說到陣列擴容，大家可以看一下java中HashMap的擴容策略，每次擴容陣列的長度都會變為2的整次冪。HashMap中有這麼一個精妙的函式：

回到今天的正題，我們不妨把double array的初始長度就定得大一些。兩陣列元素初始值均為0。

double array的初始狀態：

把詞新增到詞典的過程就給base和check陣列中各元素賦值的過程。下面我們層次遍歷圖1所示的Trie樹。

step1.

第一層上取到3個“狀態”：啊,阿,埃。把這3個狀態按照其對應的變數的編號（查表1）放到state陣列中。

step2.

當存在狀態轉移時，有

其中s和t代表某個狀態在陣列中的下標，c代表變數的編號。

此時層次遍歷來到了圖1所示DFA的第二層，我們看到“阿”的子節點有“阿根”、“阿膠”、“阿拉”，已知狀態“阿”的下標是2，變數“根”、“膠”、“拉”的編號依次是4、5、6，下面我們要給base[2]賦值：從小到大遍歷所有的正整數，直到發現某個數正整k滿足base[k+4]=base[k+5]=base[k+6]=check[k+4]=check[k+5]=check[k+6]=0。(查詢到base和check等於0的, 是因為0代表該位沒有被使用)得到k=1，那麼就把1賦給base[2]，同時也確定了狀態“阿根”、“阿膠”、“阿拉”的下標依次是k+4、k+5、k+6，即5、6、7，而且check[5]=check[6]=check[7]=2。

同理，“埃”的子節點是“埃及”，狀態“埃”的下標是3，變數“及”的編號是7，此時有check[1+7]=base[1+7]=0，所以base[3]=1，狀態“埃及”的下標是8，check[8]=3。

遍歷完DFA的第二層後得到下表：

step3.

重複step2，層次遍歷完整查詢樹之後，得到：

step4.

最後遍歷一次DFA，當某個節點已經是一個詞的結尾時，按下列方法修改其base值。

得到：

double array建好之後，如果詞典中又動態地添加了一個新詞，比如“阿拉根”，那麼“阿拉”的所有子孫節點在double array中的位置要重新分配。

圖2. 動態新增一個詞

首先，把“阿拉伯”和“阿拉伯人”對應的base、check值清0，把“阿拉伯”和“阿拉伯人”從state陣列中刪除掉，把“阿拉”的base值清0。

然後，按照上面step2所述的方法把“阿拉伯”、“阿拉根”插入到double array中。變數“根”、“伯”的編號是4和9，滿足base[k+4]=base[k+9]=check[k+4]=check[k+9]=0的最小的k是6，所以base[7]=6，“阿拉伯”和“阿拉根”對應的下標是10和15。同理把“阿拉伯人”插入到double array中。

最後，遍歷圖2所示的DFA，當某個節點已經是一個詞的結尾時按照step4中的方法修改其base值。

double array建好之後，如何查詢一個詞是否在詞典中呢？

比如要查“阿膠及”，每個字的編號是已知的，我們畫出狀態轉移圖。

變數“阿”的編號是2，base[2]=1，變數“膠”的編號是5，base[2]+5=6，我們檢查一下check[6]是否等於2。check[6]確實等於2，則繼續看下一個狀態轉移。同時我們發現base[6]是負數，這說明“阿膠”已經是一個完整的詞了。

繼續看下一個狀態轉移，base[6]=-6，負數取其相反數，base[6]=6，變數“及”的編號是7，base[6]+7=13，我們檢查一下check[13]是否等於6，發現不滿足，則“阿膠及”不是一個詞，甚至都是不是任意一個詞的字首。