補碼除以2的冪

具體講解在書裡。這裡直接給幾個結論：
1）有符號數即補碼數執行的是，算術右移。

2）有變數x和 $2^k$(0<=k<w)，那麼 $x\&gt;$

3）正常來說，除法是向零取整，而不是固定的向下取整。所以為了負數除法有正確的結果，在移位前加偏置。所以，當x為負數時，將執行 $(x$

關於第3條結論，除了書中給出的證明，這裡給出一個直觀上的解釋：
$(x+y-1)/y =\frac{x}{y} + \frac{y-1}{y}$
假如 $\frac{x}{y}$現在是一個負的小數，y為4， $\frac{x}{y}$且可以分解為-3和 $\frac{1}{4}$，本來-2.75向下取整是-3，就不是向零取整了。但這裡再加上一個 $\frac{3}{4}$，結果就會變成-2，再向下取整，也是正確的結果-2了。
而且上面的分解過程， $\frac{？}{4}$是大於等於 $\frac{1}{4}$，小於等於 $\frac{4-1}{4}$，所以肯定能保證正確結果。

2.42原理

當x為非負數時，不加偏置。因為此時的向下取整就是向零取整。
當x為負數時，加偏置。

具體來說，就是得到x的符號位上的值是0還是1，如果是1，那麼就要加上偏置 $2^{4}-1$即15。

2.42程式碼

int book_div16(int x)
{
        /* Compute bias to be either 0 (x >= 0) or 15 (x < 0) */
        int bias = (x >> 31) & 0xF;//右移31位後，32位上面都是符號位的值
        //如果為非負數，符號位為0，bias變數為0
        //如果為負數，符號位為1，bias變數為0xF，即15
        return (x + bias) >> 4;
}

如上為原書實現。

2.43

先看M:
程式碼等價於x = x * 32 -x = x * 31.所以M為31.
再看N：
7 = $2^3$-1，最後的右移操作也是右移3位，所以N為 $2^3$即8.

2.44

int x = foo();
int y = bar();
unsigned ux = x;
unsigned uy = y;
對於以下的各表示式，回答兩個問題：(1)對於任意的x和y值，該表示式是否為true,
(2) 當x和y取什麼值時為false

A. (x > 0) || (x-1 < 0)
當x為TMIN時，左邊不符合條件，為0；右邊負溢位為TMAX，正數不小於0，為0；此時為false

B. (x & 7) != 7 || (x<<29 < 0)
左邊要求的是x的低3位不能都為1；右邊要求第3位為1（先左移29位，所以有原始的低3位和29位個0組成，此時小於0，說明符號位為1，即原始的低3位的最高那個為1）；
低3位分兩種情況：
1）除111外的所有情況：左邊符合，必返回1，不用管右邊。
2）111：左邊不符合，但右邊符合了，也返回1。
該表示式必為true。

C. (x * x) >= 0
很明顯會出現正溢位，但這裡和加法的溢位不一樣，加法正溢位最多能獲得第w+1位的權值 $2^w$，且正溢位結果必為負數。
但這裡就不一樣了，因為乘積的結果可能很大。正溢位的結果也是可能正，可能負。
規律如下：
將乘積設為s，如果s- $2^w$為負數，那麼s- $2^w$則為溢位結果。
如果s- $2^w$為非負數，那麼(s- $2^w$)% $2^w$則為溢位結果。

	short a, b, c;
	a = b = 182;
	c = a * b;

182*182-65536=33124-65536=-32412

	short a, b, c;
	a = b = 270;
	c = a * b;

(270*270-65536)%65536=(72900-65536)%65536=7364%65536=7364

	short a, b, c;
	a = b = 400;
	c = a * b;

(400*400-65536)%65536=(160000-65536)%65536=94464%65536=28928
非要說原因的話，就是加法正溢位會導致第w位的權值為1，而乘積正溢位就不一定了。

D. x<0 || -x <= 0
當x為0時，右邊成立；
當x為[1,TMAX]，右邊必成立；
當x為[TMIN+1,-1]，左邊成立；
當x為TMIN，左右都成立；
綜上，此表示式必為1.

E. x>0 || -x >= 0
當x為0時，右邊成立；
當x為[1,TMAX]，左邊成立；
當x為[TMIN+1,-1]，右邊成立；
當x為TMIN，左右都不成立；

F. x+y == uy+ux
表示式中含有無符號數，所以左邊也會轉換為無符號數。等價於unsigned(x+y) == uy+ux.
在二進位制上，無符號數和有符號數的加法是一樣的，故都為真。
例如：x=y=-1,則ux=uy= $2^{32}-1$(TMAX).
x+y = -2 ,再轉無符號明顯是 $2^{32}-2$（TMAX-1，除最低一位為0外，其餘都為1）
x+y = ( $2^{32}-1$)*2 - $2^{32}$ = $2^{33}$ - 2 - $2^{32}$ = $2^{32}-2$.

G. x*~y + uyux == -x
-y = ~y+1,故 ~y=-y-1, 左邊= x(-y-1)+uyux = uyux - xy -x, 不管是無符號數還是有符號數，在二進位制層面上相乘後截短後的結果都是相同的。故 uyux-x*y=0, 故結果都為真，道理同上。

參考連結：
[1] https://github.com/haiiiiiyun/book_exercises/blob/master/csapp-v3/chap2/2.43-2.54.txt#L10