【矩陣論】07——線性變換——線性變換的矩陣
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本系列文章使用的教材為《矩陣論》(第二版),楊明,劉先忠編,華中科技大學出版社。
為了刻畫線性變換的性質,用矩陣處理線性變換。
線性變換矩陣的定義
首先對Vn(F)空間中的一組基{α1,α2...,αn},空間中任意一個向量α都可以用表示。
在對上述等式兩邊做變換有
又因為T(α1),T(α2)......T(αn)是像空間中的元素,由前面線性變換基礎概念那篇文章中,我們知道線性變換不改變線性無關性,因此在像空間中任意一個元素T(α)都是由基{αi}的像T(αi)決定的,又因為像空間仍然是Vn(F)的子空間,所以線性變換後的像空間可以由基{α1,α2...,αn}表示:
用矩陣的形式為
最終有
稱A為T在基{α1,α2...,αn}下的矩陣
值得注意的地方
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在選定基的情況下,T與A是一一對應的。
在選定基的情況下,原像的座標與像座標的關係月表示
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在這裡分別表示了原像線上性空間選定基下的座標,像線上性空間選定基下的座標.
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而上面我們得出了線性變換在特定基下的的矩陣表示,因此對原像的線性變換又可以轉化為對基的變換,並且可以用基和矩陣進行表示。
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因此我們發現了共同點:原像是用基和矩陣表示的,線性變換後的像也是由基和矩陣表示的。那麼兩個矩陣之間的關係就可以刻畫線性變換的性質
同一個線性變換在不同基下矩陣之間的關係
需要注意的是,線性變換的矩陣是與空間中選定的基相聯絡的,選定的基改變,則同一個線性變換會有不同的矩陣。
下面我們來看一下同一個線性變換在不同基下矩陣的關係。
首先看一下同一空間的兩組基之間的關係,這是在前面的線性空間基變換與座標變換那一篇文章中提到過的。
再設在兩組基下的線性變換的矩陣分別為A,B,則有
對上面基變換等式兩邊都進行T作用得
對比第二和第三的過程,發現
因此有如下定理
注意方向,從{αi}到{βi}
從上面的定理可知:B與A相似。即同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的。相反,也可以由兩個相似矩陣,又已知A是T在某組基下的矩陣,則一定可找到另外一組基,使得T在該基下的矩陣為B。C就是過渡矩陣。