資料結構與演算法分析-第1章
阿新 • • 發佈:2018-11-10
資料結構與演算法分析-第1章
Table of Contents
1 第1章-引論
1.1 數學知識複習
1.1.1 指數
- \(X^AX^B=X^{A+B}\)
- \(\frac{X^A}{X^B}=X^{A-B}\)
- \((X^A)^B=X^{AB}\)
- \(X^N+X^N=2X^N \ne x^{2n}\)
- \(2^n+2^n=2^{n+1}\)
1.1.2 對數
- 在電腦科學中,除非有特別宣告,所有的對數都是以2為底的.
- 定義: \(x^a=b\) ,當且僅當 \(\log_xb=a\),得
- \(log_AB=\frac{\log_cB}{\log_cA}\);\(c>0\)
- \(\log{AB}=\log{A}+\log{B}\)
- \(\log\frac{A}{B}=\log{A} - \log{B}\)
- \(\log(A^B)=B\log{A}\)
- \(\log{X}
- \(\log1 = 0\),\(\log2=1\),\(\log1024=10\),\(\log1048576=20\).
1.1.3 級數
- \(\sum_{i=0}^N2^i=2^{N+1}-1\),等比數列求和公式
- \(\sum_{i=0}^NA^i=\frac{A^{N+1}-1}{A-1}\)
- 如果 \(0
- 分析中另一種常用型別的級數是算術級數.任何這樣的級數都可以通過基本公式計算其值.
- \(\sum_{i=1}^Ni=\frac{N(N+1)}{2}\approx\frac{N^2}{2}\)
- \(\sum_{i=1}^Ni^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\approx\frac{N^3}{3}\)
- \(\sum_{i=1}^Ni^k\approx\frac{N^{k+1}}{|k+1|}\), \(k \neq -1\)
- 調和數: \(H_N=\sum_{i=1}^N\frac{1}{i}\approx\log_eN\),其和叫做調和和.
1.1.4 模運算
- 如果N整除 \(A-B\), 那麼我們就說A與B模N同餘(congrument),記為 \(A\equiv B(mod N)\).
- \(81 \equiv 61 \equiv 1(mod 10)\)
- 如果\(A\equiv B(mod N)\), 則 \(A+C\equiv B+C(mod N)\) 以及\(AD\equiv BD(mod N)\)
1.1.5 證明方法
- 歸納法進行證明有兩個標準部分
- 第一步是證明基準情形(base case),就是確定定理對於某個(某些)小的(通常是退化)值的正確性.
- 第二步是進行歸納假設.一般來說假設定理對某個有限數k的所有情況都成立,則定理對下一個值(通常是k+1)也從成立.
- 反證法證明: 假設定理不成立,然後證明該假設倒置某個已知的性質不成立,從而說明原假設是錯誤的.
1.2 遞迴簡論
- 遞迴的兩個基本法則
- 基本情形(base case)
- 不斷推進(making process)
- 遞迴的四條基本原則
- 基準情形
- 不斷推進
- 設計法則: 假設所有的遞迴呼叫都能執行.
- 合成效益法(compound interest rule),在求解一個問題的同一個例項時,切勿在不同的遞迴呼叫中做重複性的工作.
2 練習題
2.1 1.5 證明下列公式:
- \(\log{X} < X\) 對所有的 \(X>0\) 成立.
當0<X \le 1 時, 假設X=k時, \log{k} < k 成立. log(k+1) =
Date: 2018-11-10 22:30
Created: 2018-11-10 六 23:01