1024：二分查詢（上）
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一、什麼是二分查詢？
二分查詢針對的是一個有序的資料集合，每次通過跟區間中間的元素對比，將待查詢的區間縮小為之前的一半，直到找到要查詢的元素，或者區間縮小為0。
二、時間複雜度分析？
1.時間複雜度
假設資料大小是n，每次查詢後資料都會縮小為原來的一半，最壞的情況下，直到查詢區間被縮小為空，才停止。所以，每次查詢的資料大小是：n，n/2，n/4，…，n/(2^k)，…，這是一個等比數列。當n/(2^k)=1時，k的值就是總共縮小的次數，也是查詢的總次數。而每次縮小操作只涉及兩個資料的大小比較，所以，經過k次區間縮小操作，時間複雜度就是O(k)。通過n/(2^k)=1，可求得k=log2n，所以時間複雜度是O(logn)。
2.認識O(logn)
①這是一種極其高效的時間複雜度，有時甚至比O(1)的演算法還要高效。為什麼？
②因為logn是一個非常“恐怖“的數量級，即便n非常大，對應的logn也很小。比如n等於2的32次方，也就是42億，而logn才32。
③由此可見，O(logn)有時就是比O(1000)，O(10000)快很多。
三、如何實現二分查詢？
1.迴圈實現
程式碼實現：
public int binarySearch1(int[] a, int val){ int start = 0; int end = a.length - 1; while(start <= end){ int mid = start + (end - start) / 2; if(a[mid] > val) end = mid - 1; else if(a[mid] < val) start = mid + 1; else return mid; } return -1; }
注意事項：
①迴圈退出條件是：start<=end，而不是start<end。
②mid的取值，使用mid=start + (end - start) / 2，而不用mid=(start + end)/2，因為如果start和end比較大的話，求和可能會發生int型別的值超出最大範圍。為了把效能優化到極致，可以將除以2轉換成位運算，即start + ((end - start) >> 1)，因為相比除法運算來說，計算機處理位運算要快得多。
③start和end的更新：start = mid - 1，end = mid + 1，若直接寫成start = mid，end=mid，就可能會發生死迴圈。
2.遞迴實現
public int binarySearch(int[] a, int val){
return bSear(a, val, 0, a.length-1);
}
private int bSear(int[] a, int val, int start, int end) {
if(start > end) return -1;
int mid = start + (end - start) / 2;
if(a[mid] == val) return mid;
else if(a[mid] > val) end = mid - 1;
else start = mid + 1;
return bSear(a, val, start, end);
}四、使用條件（應用場景的侷限性）
1.二分查詢依賴的是順序表結構，即陣列。
2.二分查詢針對的是有序資料，因此只能用在插入、刪除操作不頻繁，一次排序多次查詢的場景中。
3.資料量太小不適合二分查詢，與直接遍歷相比效率提升不明顯。但有一個例外，就是資料之間的比較操作非常費時，比如陣列中儲存的都是長度超過300的字串，那這是還是儘量減少比較操作使用二分查詢吧。
4.資料量太大也不是適合用二分查詢，因為陣列需要連續的空間，若資料量太大，往往找不到儲存如此大規模資料的連續記憶體空間。
五、思考
1.如何在1000萬個整數中快速查詢某個整數？
①1000萬個整數佔用儲存空間為40MB，佔用空間不大，所以可以全部載入到記憶體中進行處理；
②用一個1000萬個元素的陣列儲存，然後使用快排進行升序排序，時間複雜度為O(nlogn)
③在有序陣列中使用二分查詢演算法進行查詢，時間複雜度為O(logn)
2.如何程式設計實現“求一個數的平方根”？要求精確到小數點後6位？