0x00 問題描述

給定一個整數陣列，除了一個元素出現 $p$次（ $p> = 1$

， $p％k！= 0$），其餘每個元素出現 $k$

k （ $k>1$）次，找到那個特殊的元素。

0x01 含有1bit數字的特殊情況

假設我們有一個只包含1bit數字的陣列（只能是 $0$

0 或 $1$），我們想計算陣列中 $1$的數量，我們需要一個計數器count。這樣每當數字 $1$的數量count達到某個值時，比如說 $k$， count返回 $0$並重新開始。假設計數器具有二進位制形式的 $m$位： $x_m，...，x_1$（從最高有效位到最低有效位）。我們可以得出以下四個性質：

• 計數器的初始狀態為零
• 對於陣列中的每個輸入，如果我們碰到 $0$，則計數器應保持不變
• 對於陣列中的每個輸入，如果我們碰到 $1$，則計數器應該增加 $1$
• 為了覆蓋 $k$個計數，我們需要 $2 ^ m> = k$，這意味著 $m> = logk$。

關鍵問題就在於：計數器中的每個位（ $x_1...x_m$）在掃描陣列時如何變化。為了滿足第二個性質，如果另一個運算元為 $0$的話，我們使用哪些位運算會不改變運算元呢？ $x = x | 0$和 $x = x \oplus 0$。

好的，我們現在有兩個可用的表示式： $x = x | i$或 $x = x \oplus i$，其中 $i$是輸入陣列中的元素。哪一個更好？我們還不知道，所以我們要實際操作一下。

開始時，計數器的所有位都初始化為零，即 $x_m = 0，...，x_1 = 0$，保證計數器的所有位保持不變。如果我們碰到 $0$，計數器將為 $0$，直到我們碰到輸入陣列中的第一個 $1$。在我們碰到第一個 $1$之後，我們得到： $x_m = 0，...，x_2 = 0，x_1 = 1$。讓我們繼續，直到我們碰到第二個 $1$，之後我們得到： $x_m = 0，...，x_2 = 1，x_1 = 0$，注意 $x_1$從 $1$變為 $0$。如果使用 $x_1 = x_1 | i$的話，在第二次計數之後， $x_1$仍然是 $1$，所以很明顯我們應該使用 $x_1 = x_1 \oplus i$。 $x_2，...，x_m$呢？以 $x_2$為例，如果我們此時碰到 $1$並需要更改 $x_2$的值，那麼在我們進行更改之前， $x_1$的值必須是多少？答案是： $x_1$必須為 $1$，否則我們不應該更改 $x_2$，因為將 $x_1$從 $0$更改為 $1$即可。因此，只有當 $x_1$和 $i$都是 $1$時， $x_2$才會改變值，或者用數學公式表示為 $x_2 = x_2 \oplus (x_1＆i)$。類似地，只有當 $x_{m-1}，...，x_1$

相關推薦