0-1字典樹總結和經典例題
0-1字典樹：
0-1字典樹主要用於解決求異或最值的問題，0-1字典樹其實就是一個二叉樹，和普通的字典樹原理類似，只不過把插入字元改成了插入二進位制串的每一位（0或1）。
下面先給出0-1字典樹的簡單模板：
LL val[32 * MaxN]; //點的值 int ch[32 * MaxN][2]; //邊的值 int tot; //節點個數 void add(LL x) { //往 01字典樹中插入 x int u = 0; for(int i = 32; i >= 0; i--) { int v = (x >> i) & 1; if(!ch[u][v]) { //如果節點未被訪問過 ch[tot][0] = ch[tot][1] = 0; //將當前節點的邊值初始化 val[tot] = 0; //節點值為0，表示到此不是一個數 ch[u][v] = tot++; //邊指向的節點編號 } u = ch[u][v]; //下一節點 } val[u] = x; //節點值為 x，即到此是一個數 } LL query(LL x) { int u = 0; for(int i = 32; i >= 0; i--) { int v = (x >> i) & 1; //利用貪心策略，優先尋找和當前位不同的數 if(ch[u][v^1]) u = ch[u][v^1]; else u = ch[u][v]; } return val[u]; //返回結果 }
不難發現以下事實：
- 01字典樹是一棵最多32層的二叉樹，其每個節點的兩條邊分別表示二進位制的某一位的值為 0 還是為 1。將某個路徑上邊的值連起來就得到一個二進位制串。
- 節點個數為 1 的層（最高層，也就是根節點）節點的邊對應著二進位制串的最高位，向下的每一層逐位降低。
- 以上程式碼中，ch[i] 表示一個節點，ch[i][0] 和 ch[i][1] 表示節點的兩條邊指向的節點，val[i] 表示節點的值。
- 每個節點主要有4個屬性：節點值、節點編號、兩條邊指向的下一節點的編號。
- 節點值 val 為 0時表示到當前節點為止不能形成一個數，否則 val[i] = 數值。
- 節點編號在程式執行時生成，無規律。
- 可通過貪心的策略來尋找與 x 異或結果最大的數，即優先找和 x 二進位制的未處理的最高位值不同的邊對應的點，這樣保證結果最大。
複雜度：O(32*n)
例題1. CSU 1216:異或最大值
http://acm.csu.edu.cn/csuoj/problemset/problem?pid=1216
Description
給定一些數，求這些數中兩個數的異或值最大的那個值。
（對於一個長度為 n 的陣列a1, a2, …, an，請找出不同的 i, j，使 ai ^ aj 的值最大）
Input
多組資料
Output
任意兩數最大異或值
Solution：
貪心找最大異或值：
把每一個數以二進位制形式從高位到低位插入trie樹中，依次列舉每個數，在trie中貪心，即當前為0則向1走，為1則向0走。
異或運算有一個性質，就是對應位不一樣則為1，要使結果最大化，就要讓越高的位為1，所以找與一個數使得兩數的異或結果最大，就需要從樹的根結點（也就是最高位）開始找，如果對應位置的這個數是0，優先去找那一位為1的數，否則再找0；同理，如果對應位置的這個數是1，優先去找那一位為0的數，否則再找1。最終找到的數就是跟這個數異或結果最大的數。
對於n個數，每個數找一個這樣的數並算出結果求其中的最大值即可。
Code：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#define fi first
#define se second
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-9;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int MaxN = 1e5 + 5;
LL a[MaxN];
LL val[32 * MaxN];
int ch[32 * MaxN][2];
int tot;
void add(LL x) {
int u = 0;
for(int i = 32; i >= 0; i--) {
int v = (x >> i) & 1;
if(!ch[u][v]) {
ch[tot][0] = ch[tot][1] = 0;
val[tot] = 0;
ch[u][v] = tot++;
}
u = ch[u][v];
}
val[u] = x;
}
LL query(LL x) {
int u = 0;
for(int i = 32; i >= 0; i--) {
int v = (x >> i) & 1;
if(ch[u][v^1]) u = ch[u][v^1];
else u = ch[u][v];
}
return val[u];
}
int main(){
int n;
while(cin >> n) {
ch[0][0] = ch[0][1] = 0;
tot = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
add(a[i]);
}
LL ans = 0LL;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
ans = max(ans, a[i] ^ query(a[i]));
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
例題2. HDU 4825 Xor Sum
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4825
Problem Description
Zeus 和 Prometheus 做了一個遊戲，Prometheus 給 Zeus 一個集合，集合中包含了N個正整數，隨後 Prometheus 將向 Zeus 發起M次詢問，每次詢問中包含一個正整數 S ，之後 Zeus 需要在集合當中找出一個正整數 K ，使得 K 與 S 的異或結果最大。Prometheus 為了讓 Zeus 看到人類的偉大，隨即同意 Zeus 可以向人類求助。你能證明人類的智慧麼？
Input
輸入包含若干組測試資料，每組測試資料包含若干行。
輸入的第一行是一個整數T（T < 10），表示共有T組資料。
每組資料的第一行輸入兩個正整數N，M（<1=N,M<=100000），接下來一行，包含N個正整數，代表 Zeus 的獲得的集合，之後M行，每行一個正整數S，代表 Prometheus 詢問的正整數。所有正整數均不超過2^32。
Output
對於每組資料，首先需要輸出單獨一行”Case #?:”，其中問號處應填入當前的資料組數，組數從1開始計算。
對於每個詢問，輸出一個正整數K，使得K與S異或值最大。
Description：
m組詢問，每次詢問給出一個數，求在n個數中找出一個數，使得與當前數的異或結果最大。
Solution：
與上一題基本一樣
Code：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#define fi first
#define se second
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-9;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int MaxN = 1e5 + 5;
LL a[MaxN];
LL val[32 * MaxN];
int ch[32 * MaxN][2];
int tot;
void add(LL x) {
int u = 0;
for(int i = 32; i >= 0; i--) {
int v = (x >> i) & 1;
if(!ch[u][v]) {
ch[tot][0] = ch[tot][1] = 0;
val[tot] = 0;
ch[u][v] = tot++;
}
u = ch[u][v];
}
val[u] = x;
}
LL query(LL x) {
int u = 0;
for(int i = 32; i >= 0; i--) {
int v = (x >> i) & 1;
if(ch[u][v^1]) u = ch[u][v^1];
else u = ch[u][v];
}
return val[u];
}
int main(){
int t; cin >> t;
for(int cas = 1; cas <= t; cas++) {
ch[0][0] = ch[0][1] = 0;
tot = 1;
int n, m; cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
add(a[i]);
}
cout << "Case #" << cas << ":" << endl;
while(m--) {
LL x; cin >> x;
cout << query(x) << endl;
}
}
return 0;
}
例題3. HDU 5536 Chip Factory
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5536
Problem Description
John is a manager of a CPU chip factory, the factory produces lots of chips everyday. To manage large amounts of products, every processor has a serial number. More specifically, the factory produces n chips today, the i-th chip produced this day has a serial number si.
At the end of the day, he packages all the chips produced this day, and send it to wholesalers. More specially, he writes a checksum number on the package, this checksum is defined as below:
maxi,j,k(si+sj)⊕sk
which i,j,k are three different integers between 1 and n. And ⊕ is symbol of bitwise XOR.
Can you help John calculate the checksum number of today?
Input
The first line of input contains an integer T indicating the total number of test cases.
The first line of each test case is an integer n, indicating the number of chips produced today. The next line has n integers s1,s2,..,sn, separated with single space, indicating serial number of each chip.
1≤T≤1000
3≤n≤1000
0≤si≤109
There are at most 10 testcases with n>100
Output
For each test case, please output an integer indicating the checksum number in a line.
Description：
在一個數組中找出 (s[i] + s[j]) ^ s[k] 的最大值，其中 i、j、k 各不相同。
Solution：
由於題目中的資料範圍很小，可以暴力列舉 i 和 j，與上面的例題不同的是，由於規定 i, j, k 各不相同，所以需要增加一個 update 操作，用來記錄增加或減少一個數後每個節點的訪問次數，通過訪問次數是否大於0判斷當前數是否被使用過（也就是a[i], a[j]）。
Code：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MaxN = 1e5 + 5;
LL a[MaxN];
LL val[32 * MaxN];
int ch[32 * MaxN][2], vis[32 * MaxN];
int tot;
void add(LL x) {
int u = 0;
for(int i = 32; i >= 0; i--) {
int v = (x >> i) & 1;
if(!ch[u][v]) {
ch[tot][0] = ch[tot][1] = 0;
val[tot] = 0;
vis[tot] = 0; //
ch[u][v] = tot++;
}
u = ch[u][v];
vis[u]++; //
}
val[u] = x;
}
void update(LL x, int add) { //更新插入或刪除x後每個節點被訪問的次數
int u = 0;
for(int i = 32; i >= 0; i--) {
int v = (x >> i) & 1;
u = ch[u][v];
vis[u] += add;
}
}
LL query(LL x) {
int u = 0;
for(int i = 32; i >= 0; i--) {
int v = (x >> i) & 1;
//if(ch[u][v^1]) u = ch[u][v^1];
if(ch[u][v^1] && vis[ch[u][v^1]]) u = ch[u][v^1]; //訪問次數大於0說明當前數不是a[i],a[j]
else u = ch[u][v];
}
return val[u];
}
int main(){
int t; cin >> t;
for(int cas = 1; cas <= t; cas++) {
ch[0][0] = ch[0][1] = 0;
tot = 1;
int n; cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
add(a[i]);
}
LL ans = 0LL;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(i == j) continue;
update(a[i], -1);
update(a[j], -1);
ans = max(ans, (a[i]+a[j]) ^ query(a[i]+a[j]));
update(a[i], 1);
update(a[j], 1);
}
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
例題4. BZOJ 4260: Codechef REBXOR
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4260
Description：
給出 n 個數，求兩個不相交的區間中的元素異或後的和的最大值
Solution：
首先考慮異或的一個性質：0 ^ a = a，a ^ a = 0。前 i 個數的異或結果和前 j 個數的異結果再進行異或： pre[i] ^ pre[j] = a[i+1] ^ a[i+2] ^ …^ a[j] (i < j)。異或的字尾和同理。
於是可以通過先求出異或的字首 pre[i] 和字尾 suf[i]。dp[i] 表示前 i 個數中任意區間異或後的最大值，可以依次求與 pre[i] 相異或結果的最大值，然後把 pre[i] 插入到 01字典樹中。
這樣對於每個 pre[i] 就會和之前的 i-1 個異或字首和的共有部分相抵消，也就相當於是求任意區間的異或結果的最大值了。這樣求出了一個區間，同理可利用字尾和求出另一個區間。
那麼如何保證兩個區間不相交呢？可以通過使前後兩個區間一個為不包含第 i 個數的前部分割槽間，一個是包含第 i 個數的後部分割槽間就可以了。
Code：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#define fi first
#define se second
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-9;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int MaxN = 4e5 + 5;
LL a[MaxN];
LL val[32 * MaxN];
int ch[32 * MaxN][2]; //vis[32 * MaxN]; //記錄訪問次數
int tot;
LL dp[MaxN], pre[MaxN], suf[MaxN];
void add(LL x) {
int u = 0;
for(int i = 32; i >= 0; i--) {
int v = (x >> i) & 1;
if(!ch[u][v]) {
ch[tot][0] = ch[tot][1] = 0;
val[tot] = 0;
//vis[tot] = 0;
ch[u][v] = tot++;
}
u = ch[u][v];
//vis[u]++;
}
val[u] = x;
}
void update(LL x, int add) { //更新插入或刪除x後每個節點被訪問的次數
int u = 0;
for(int i = 32; i >= 0; i--) {
int v = (x >> i) & 1;
u = ch[u][v];
//vis[u] += add;
}
}
LL query(LL x) {
int u = 0;
for(int i = 32; i >= 0; i--) {
int v = (x >> i) & 1;
if(ch[u][v^1]) u = ch[u][v^1];
//if(ch[u][v^1] && vis[ch[u][v^1]]) u = ch[u][v^1];
else u = ch[u][v];
}
return x ^ val[u];
}
int main(){
ch[0][0] = ch[0][1] = 0; tot = 1;
int n; cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
pre[0] = suf[n+1] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) pre[i] = pre[i-1] ^ a[i];
for(int i = n; i >= 1; i--) suf[i] = suf[i+1] ^ a[i];
mst(dp, 0);
add(pre[0]);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
dp[i] = max(dp[i-1], query(pre[i])); //即前i個數的任意區間異或的最大值
add(pre[i]);
}
ch[0][0] = ch[0][1] = 0; tot = 1;
add(suf[n+1]);
LL ans = 0;
for(int i = n; i >= 1; i--) {
ans = max(ans, query(suf[i]) + dp[i-1]);
add(suf[i]);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
例題5. POJ 3764 The xor-longest Path
http://poj.org/problem?id=3764
Description
In an edge-weighted tree, the xor-length of a path p is defined as the xor sum of the weights of edges on p:
⊕ is the xor operator.
We say a path the xor-longest path if it has the largest xor-length. Given an edge-weighted tree with n nodes, can you find the xor-longest path?
Input
The input contains several test cases. The first line of each test case contains an integer n(1<=n<=100000), The following n-1 lines each contains three integers u(0 <= u < n),v(0 <= v < n),w(0 <= w < 2^31), which means there is an edge between node u and v of length w.
Output
For each test case output the xor-length of the xor-longest path.
Description：
在樹上找一段路徑（連續）使得邊權相異或的結果最大。
Solution：
Code：