前言

• 這類題，做法很簡單，但是我每次證明正確性的時候總是卡殼，所以這次整理一版我個人覺得比較清晰的證明，希望能以後能記住。。

思路

• 題型特點：給你一個連結串列，或者只知道遞推關係的資料（形如初始是$a_0$，遞推關係是$a_t = f(a_{t-1})$），讓你在O(1)空間集線性時間裡，判斷資料是否有環，進一步會問環起點是哪個資料
• 判斷是否有環演算法：兩個指標，慢指標每次走一步，快指標每次走兩步，能相遇則有環，否則無
• 找環起點演算法：在上一步基礎上，從相遇點各出發一個指標，每次走一步，再相遇點就是環起點
• 證明判斷有環演算法，若有環則一定會相遇：
  
  • 設在t時刻相遇，無環段長$x_1$, 有環段長$x_2$，則有
    $$t = x_1 + c + k_1x_2 \\ 2t = x_1 + c + k_2x_2$$
  • 兩式相減得到：$t = (k_2 - k_1) x_2$，
  • 則能相遇的條件是，滿足對任意 $x_1, x_2 \in N$，存在
    $$k_1, k_2, t \in N \\ s.t. \quad t = (k_2 - k_1)x_2, \\ t \geq x_1$$
  • 顯然可以令$k_1 = 0$，$k_2$足夠大就可以滿足上述條件
• 證明第二個演算法中相遇點是環頭：
  
  • 把上一個證明中的兩個等式消元掉t，並換元簡化一下式子，得到
    $$x_1 = kx_2 - c$$
  • 我們的目的，是得到$x_1$，根據等式，顯然分別從頭和$x_1 + c$的位置出發，最後會在$x_1$相遇

leetcode相關題目

141. Linked List Cycle

• 判斷連結串列是否有環
• 實現：

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    bool hasCycle(ListNode *head) {
        if (!head)
            return false;
        auto slow = head, fast = head;
        do {
            if (fast->next == NULL || fast->next->next == NULL)
                return false;
            fast = fast->next->next;
            slow = slow->next;
        }while (slow != fast);
        return true;
    }
};

142. Linked List Cycle II

• 找環頭
• 實現：

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    ListNode *detectCycle(ListNode *head) {
        if (!head)
            return NULL;
        auto slow = head, fast = head;
        do {
            if (fast->next == NULL || fast->next->next == NULL)
            {
                fast = NULL;
                break;
            }
            fast = fast->next->next;
            slow = slow->next;
        }while (slow != fast);
        if (!fast)
            return NULL;
        slow = head;
        while (slow != fast){
            fast = fast->next;
            slow = slow->next;
        }
        return fast;

    }
};

202. Happy Number

• 給定next函式和初始值n，next為n的各十進位制位的平方和
• 求最後能否變為1
• 思路：我們會發現，不管初始n多大，由於是int值，經過一次變換後，最大不會超過1000
• 完全可以通過判斷是否提前有環來解
• 實現：

class Solution {
public:
    int next(int x){
        int ret = 0;
        while (x > 0){
            ret += (x % 10) * (x % 10);
            x /= 10;
        }
        return ret;
    }
    bool isHappy(int n) {
        int slow = n, fast = n;
        do{
            slow = next(slow);
            fast = next(fast);
            fast = next(fast);
            if (fast == 1)
                return true;
        }while(slow != fast);
        return false;
    }
};