注意：這裡只是推出LOG與DOG的關係

1）高斯函式：

                            （1）

2）DOG（Difference Of Gaussian）

    DoG運算元是LoG運算元的近似，做法是求取不同sigma方差下的高斯濾波影象的差，這導致DoG影象有負數產生，因此實際操作時要把原影象素值設為有符號數。

不妨令：

                                        （2）

則由式（2）求σ偏導得：

                                                                                   （3）

在不妨令

                                    （4）

                                             （5）                         
                              

則對公式（4）求σ偏導為：

                                  （6）

由（2）（6）可得出高斯函式對σ求偏導，即：
           （7）

3）LOG（Laplacian Of Gaussian）

    LOG運算元可以用下式表示：

                                         （8）

    可以看出LOG就是高斯函式的二階導。具體推導過程如下：

高斯函式可以轉化為下式

                                   （9）

不妨令

                                                      （10）

                                                        （11）

由公式（10）求得對x的偏導：
                                                 （12）

再次求導得：

                       （13）

同理可求得公式（10）對y的二次偏導：
                                       （14）

所以公式（8）可表示為：

（15）

4）LOG與DOG的關係

    由式（7）（15）可以看出：

                                                         （16）

   由導數定義得：

                 （17）

    則由（16）（17）得：

                         （18）

   將公式（18）變形得：

                （19）