在解析幾何中，我們大量的使用列方程求解未知量。但是在計算機計算的時候，解析幾何的演算法因為使用除法過多可能會帶來嚴重的精度誤差，所以簡單來說，計算幾何使用了一些其他的等效的方法來解決這些問題。

這裡先說一個比較基礎的題目，大意為給定一個點數為n的正方形，點按照順序給出，給定m個點，判斷點是否在多邊形內。

我們的判定方法是：過給定的點做與x軸平行的一條射線（方向無所謂），計算其與多邊形的交點個數，如果是奇數個則在多邊形內，否則不在。

但是問題在於可能有一些特殊的情況，比如說交點正好是一條邊的下端點或者上端點。這裡的處理方法是，對於點線上段上的情況直接特判掉，否則如果在上端點相交則視為相交，下端點相交視為不相交。這個是沒有問題的，如果在形外，那麼一個端點會被計算兩次或者不算，結果一樣。如果在形內，那麼對於兩條邊的交點，必然是同時與一上一下端點相交，沒有影響。

至於判斷點線上段上的方法，用到的是向量的內積和外積。而一開始的圖形面積處理用的是向量外積求圖形面積的方法。這些做法以後補上……

所以具體的思路就是，首先構造出一個多邊形，計算一下它的有向面積，如果<0的話就把圖形整體反過來。之後對於給定的每一個點，列舉圖形的所有邊判斷是否與其相交，計算出交點個數之後判定是否在圖形內部即可。

看一下程式碼。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include
 
<set>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')
#define fr friend inline

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 100005;
const int INF = 1000000009;
const double eps = 1e-6;

int read()
{
   
 
int ans = 0,op = 1;
   char ch = getchar();
   while(ch < '0' || ch > '9')
   {
      if(ch == '-') op = -1;
      ch = getchar();
   }
   while(ch >= '0' && ch <= '9')
   {
      ans *= 10;
      ans += ch - '0';
      ch = getchar();
   }
   return ans * op;
}

struct point
{
   double x,y;
   point(){}
   point(double kx,double ky) : x(kx),y(ky) {}
   fr point operator + (const point &ls,const point &rs)// vector plus
   {
      return point(ls.x + rs.x,ls.y + rs.y);
   }
   fr point operator - (const point &ls,const point &rs)//vector minus
   {
      return point(rs.x - ls.x,rs.y - ls.y);
   }
   fr point operator * (const point &p,const double &a)//vector multi
   {
      return point(p.x * a,p.y * a);
   }
   fr double operator * (const point &ls,const point &rs)//calc area
   {
      return ls.x * rs.y - ls.y * rs.x;
   }
   fr double dot(const point &ls,const point &rs)//dot product
   {
      return ls.x * rs.x + ls.y * rs.y;
   }
}q;

inline bool check(const point &u,const point &v,const point &p)
{
   double det = (u - p) * (v - p);
   if(det != 0) return 0;
   double D = dot(u - p,v - p);
   return D <= 0;
}

struct polygon
{
   int n;
   point p[M];
   void init(int x)
   {
      n = x;
      rep(i,0,n-1) scanf("%lf %lf",&p[i].x,&p[i].y);
      p[n] = p[0];
      if(Area() < 0) reverse(p,p+n); p[n] = p[0];
   }
   inline double Area() const
   {
      double res = 0;
      rep(i,0,n-1) res += p[i] * p[i+1];
      return res;
   }
   bool inner(const point &q)
   {
      int cnt = 0;
      rep(i,0,n-1)
      {
     if(check(p[i],p[i+1],q)) return 1;
     double d1 = p[i].y - q.y,d2 = p[i+1].y - q.y;
     double det = (p[i] - q) * (p[i+1] - q);
     if((det >= 0 && d1 < 0 && d2 >= 0) || (det <= 0 && d1 >= 0 && d2 < 0)) ++cnt;
      }
      return cnt & 1;
   }
}P;

int t,n,m;

int main()
{
   while(++t)
   {
      n = read();
      if(!n) break;
      m = read(),P.init(n);
      if(t != 1) enter;
      printf("Problem %d:\n",t);
      while(m--)
      {
     scanf("%lf%lf",&q.x,&q.y);
     if(P.inner(q)) printf("Within\n");
     else printf("Outside\n");
      }
   }
   return 0;
}