上篇介紹了TopK的四種解法，其中隨機選擇 (randomized select) 最為經典，用減治法 (Reduce & Conquer) 的思想，將資料規模急速降低，總體複雜度為O(n)。

結尾挖了一個坑：求TopK，有沒有比隨機選擇更快的方法呢？

空間換時間，是演算法優化中最常見的手段，如果有相對充裕的記憶體，可以有更快的演算法。

畫外音：即使記憶體不夠，也可以水平切分，使用分段的方法來操作，減少每次記憶體使用量。

TopK問題描述

從arr[1, 12]={5,3,7,1,8,2,9,4,7,2,6,6} 這n=12個數中，找出最大的k=5個。

位元點陣圖(bitmap)法

bitmap，是空間換時間的典型代表。它是一種，用若干個bit來表示集合的資料結構。

例如，集合S={1,3,5,7,9}，容易發現，S中所有元素都在1-16之間，於是，可以用16個bit來表示這個集合：存在於集合中的元素，對應bit置1，否則置0。

畫外音：究竟需要多少存儲存空間，取決於集合中元素的值域，在什麼範圍之內。

上述集合S，可以用1010101010000000這樣一個16bit的bitmap來表示，其中，第1, 3, 5, 7, 9個bit位置是1。

假設TopK的n個元素都是int，且元素之間沒有重複，只需要申請2^32個bit，即512M的記憶體，就能夠用bitmap表示這n元素。

掃描一次所有n個元素，以生成bitmap，其時間複雜度是O(n)。生成後，取TopK只需要找到最高位的k個bit即可。演算法總時間複雜度也是O(n)。

虛擬碼為：

bitmap[4G] = make_bitmap(arr[1, n]);

return bitmap[top k bits];

bitmap演算法有個缺點，如果集合元素有重複，相同的元素會被去重，假設集合S中有5個1，最終S製作成bitmap後，這5個1只對應1個bit位，相當於4個元素被丟掉了，這樣會導致，找到的TopK不準。該怎麼優化呢？

位元點陣圖計數

優化方法是，每個元素的1個bit變成1個計數。

如上圖所示，TopK的集合經過位元點陣圖計數處理後，會記錄每個bit對應在集合S中出現過多少次。

接下來，找TopK的過程，就是bitmap從高位的計數開始，往低位的計數掃描，得到count之和等於k，對應的bit就是TopK所求。

如上圖所示，k=5：

（1）第一個非0的count是1，對應的bit是9；

（2）第二個非0的count也是1，對應的bit是8；

（3）第三個非0的count是2，對應的bit是7；

（4）第四個非0的count是2，對應的bit是6，但TopK只缺1個數字了，故只有1個6入選；

故，最終的TopK={9, 8, 7, 7, 6}。

結論：通過位元點陣圖精準計數的方式，求解TopK，演算法整體只需要不到2次掃描，時間複雜度為O(n)，比減治法的隨機選擇會更快。

為了鞏固今天的內容，例行挖個坑。

面試中，還有個問題問得比較多：求一個正整數的二進位制表示包含多少個1？

例如：7的二進位制表示是111，即7的二進位制表示包含3個1。

畫外音：我面試過程中從不問這個問題。

最常見的解法是：

uint32_t count_one(uint32_t n){

    uint32_t count=0;

    while(n){

        count ++;

        n &= (n-1);

    }

    return count;

}

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