【Atcoder - AGC027D】Modulo Matrix
@Modulo [email protected]
@題目描述 - [email protected]
Time Limit: 2 sec / Memory Limit: 1024 MB
Score : 1100 points
Problem Statement
You are given an integer N.Construct any one N-by-N matrix a that satisfies the conditions below. It can be proved that a solution always exists under the constraints of this problem.
1≤a(i,j)≤10^15
a(i,j) are pairwise distinct integers.
There exists a positive integer m such that the following holds: Let x and y be two elements of the matrix that are vertically or horizontally adjacent. Then, max(x,y) mod min(x,y) is always m.
Constraints
2≤N≤500
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N
Output
Print your solution in the following format:
a(1,1)…a(1,N)
…
a(N,1) … a(N,N)
Sample Input 1
2
Sample Output 1
4 7
23 10
For any two elements x and y that are vertically or horizontally adjacent, max(x,y) mod min(x,y) is always 3.
@中文題意@
構造一個元素互不相同的N*N矩陣,矩陣元素為不超過10^15的正整數。使得對於矩陣中相鄰的兩個元素x,y, 為一個正整數常數。
@分析@
假如沒有元素互不相同的限制,我們可以對矩陣黑白二染色,形成棋盤狀。然後在黑格里填N,白格里面填N+1。
那麼現在有了元素互不相同的限制,我們仍然可以沿用這樣一個染色思想:令(1,1)為黑格,交替染色,使得白格里的元素總大於它四周黑格的元素。並且為了簡化問題,不妨讓模數值為 1,這樣問題轉化為(白格元素值-1)是它四周黑格元素的公倍數。一樣為了簡化問題,我們令白格元素=四周黑格元素的LCM + 1。
構造思路出來了,但是還有一個很嚴重的問題:直接這樣構造是會超出題目所給的10^15的範圍。
【於是考場上我就想到這裡而已……QAQ】
我們給每一條黑格斜線定一個素數權值,給每一個黑格定權值為穿過它兩條斜線——自左上至右下一條,自右上至左下一條——的權值之積。這樣,每個白格的元素就為四個素數之積+1。
不難發現自右上至左下的斜線恰有N條,我們令這N條斜線的權值為第1~N個質數,令自左上至右下的斜線的權值為N+1開始的質數。
則白格的最大值為
這樣就很完美了。
@程式碼@
QAQ實際上我自己都沒有完全過掉這道題……
不過如果米娜桑如果還有什麼問題的話,我也會盡力解疑的~
【UPD in 2018/9/22】發現像之前那麼寫的話會有兩個數相同……還真的要特判QWQ
#include<cstdio>
typedef long long ll;
const int MAXN = 500;
const int MAXM = 10000;
bool vis[MAXM + 5];
int prm[MAXM + 5], pcnt = 0;
ll GCD(ll x, ll y) {
return y == 0 ? x : GCD(y, x%y);
}
ll LCM(ll x, ll y) {
return x / GCD(x, y) * y;
}
void sieve() {
for(int i=2;i<=MAXM;i++) {
if( !vis[i] ) prm[++pcnt] = i;
for(int j=1;i*prm[j]<=MAXM;j++) {
vis[i*prm[j]] = true;
if( i % prm[j] == 0 ) break;
}
}
}
ll Mat[MAXN + 5][MAXN + 5];
int main() {
sieve(); int N;
scanf("%d", &N);
if( N == 2 ) {
printf("4 7\n23 10\n");
return 0;
}
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=N;j++)
Mat[i][j] = 1;
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=N;j++)
if( (i & 1) == (j & 1) ) {
Mat[i][j] = prm[(i + j) / 2] * prm[(i+N+1-j)/2 + N];
Mat[i+1][j] = LCM(Mat[i+1][j], Mat[i][j]);
Mat[i-1][j] = LCM(Mat[i-1][j], Mat[i][j]);
Mat[i][j+1] = LCM(Mat[i][j+1], Mat[i][j]);
Mat[i][j-1] = LCM(Mat[i][j-1], Mat[i][j]);
}
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=N;j++)
if( (i & 1) != (j & 1) )
Mat[i][j]++;
for(int i=1;i<=N;i++) {
for(int j=1;j<N;j++)
printf("%lld ", Mat[i][j]);
printf("%lld\n", Mat[i][N]);
}
}
@[email protected]
就是這樣,新的一天裡,也請多多關照哦(ノω<。)ノ))☆.。~