1.1 命題符號化及聯結詞

命題

能判斷真假的陳述句

複合命題

• p且q： $p\lor q$
• p或q： $p$
  ∧ q p\land q
• 非p： $\neg p$
• 如果p則q： $p$
  → q p\to q , $\neg p\land q$
• p當且僅當q： $p\leftrightarrow q$

1.2 命題公式及分類

命題公式

由命題變項組合的複合命題形式
一個含有命題變項的命題公式的真值是不確定的。

• 成真賦值：指定一組值使得取值為真
• 成假賦值：指定一組值使得取值為假
• 永真式（重言式）：所有賦值下取值均為真
• 永假式（矛盾式）：所有賦值下取值均為假
• 可滿足式：至少存在一組成真賦值

n個命題變項共有 $2^n$個可能的賦值，對於每個賦值，真值函式的函式值非0即1，於是n個命題變項共形成 $2^{2^n}$個不同的真值函式。

1.3 等值演算

德摩根定律：

$\neg (A\lor B)=\neg A \land \neg B$
$\neg (A\land B)=\neg A \lor \neg B$

吸收律

$A \lor (A \land B)=A$
$A \land (A \lor B)=A$

蘊涵等值式

$A\to B=\neg A\land B$

1.4 正規化

1.4.1 析取正規化

僅由有限個簡單合取式構成的析取式

極小項

設有n個命題變項，若在簡單合取式中每個命題變項及其否定有且僅有一個出現1次，則這樣的簡單合取式稱為極小項。一般，n個命題變項共產生 $2^n$個極小項

主析取正規化

如果公式A中的析取正規化的簡單合取式全是極小項，則稱該析取正規化為A的主析取正規化。

定理：任何命題公式都有唯一的主析取正規化。
用途：

• 判斷兩命題公式是否等值
  $p\Longleftrightarrow q$等價於p與q有相同的主析取正規化
• 判斷命題公式的型別
  設A是含有n個命題變項的命題公式，
  （1）A為永真式等價於A的主析取正規化含全部 $2^n$個極小項
  （2）A為永假式等價於A的主析取正規化不含任何極小項
  （3）A為可滿足式等價於A的主析取正規化至少含有1個極小項

1.4.2 合取正規化

僅由有限個簡單析取式構成的合取式

極大項

設有n個命題變項，若在簡單析取式中每個命題變項及其否定有且僅有一個出現1次，則這樣的簡單析取式稱為極大項。一般，n個命題變項共產生 $2^n$個極大項

主合取正規化

如果公式A中的合取正規化的簡單析取式全是極大項，則稱該合取正規化為A的主合取正規化。

1.5 聯結詞

• p與q的否定（與非式）： $\neg (p\lor q) \Longleftrightarrow p\uparrow q$
• p或q的否定（或非式）： $\neg (p\land q) \Longleftrightarrow p\downarrow q$

1.7 推理理論

若 $(A_1 \land A_2,... \land A_n)\to B$為永真式，則稱 $A_1 ,A_2,... ,A_n$推出結論B的推理正確，B是 $A_1 ,A_2,... ,A_n$的邏輯結論或有效結論，記作 $(A_1 \land A_2,... \land A_n)\Rightarrow B$
注意：推理正確不能保證結論正確，因為前提可能是錯的。
永真式：真 $\Rightarrow$真 ，假 $\Rightarrow$真/假

重要的推理定律

• 附加： $A \Rightarrow (A \lor B)$
• 化簡： $(A\land B) \Rightarrow A$
• 假言推理： $(A \to B)\land A\Rightarrow B$
• 拒取式： $(A \to B)\land \neg B\Rightarrow \neg A$
• 析取三段式： $((A \lor B)\land \neg A)\Rightarrow B$
• 假言三段式： $((A \to B)\land (B \to C) \Rightarrow (A \to C)$