計算機考研複試真題 整數拆分
阿新 • • 發佈:2018-11-18
題目描述
一個整數總可以拆分為2的冪的和,例如: 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 總共有六種不同的拆分方式。 再比如:4可以拆分成:4 = 4,4 = 1 + 1 + 1 + 1,4 = 2 + 2,4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的種數,例如f(7)=6. 要求編寫程式,讀入n(不超過1000000),輸出f(n)%1000000000。輸入描述:
每組輸入包括一個整數:N(1<=N<=1000000)。
輸出描述:
對於每組資料,輸出f(n)%1000000000。示例1
輸入
7
輸出
6
//計算機考研複試真題 整數拆分 /* 程式設計思想:搬運一下思路: 記f(n)為n的劃分數,我們有遞推公式: f(2m + 1) = f(2m), f(2m) = f(2m - 1) + f(m), 初始條件:f(1) = 1。 證明: 證明的要點是考慮劃分中是否有1。 記: A(n) = n的所有劃分組成的集合, B(n) = n的所有含有1的劃分組成的集合, C(n) = n的所有不含1的劃分組成的集合, 則有: A(n) = B(n)∪C(n)。 又記: f(n) = A(n)中元素的個數, g(n) = B(n)中元素的個數, h(n) = C(n)中元素的個數, 易知: f(n) = g(n) + h(n)。 以上記號的具體例子見文末。 我們先來證明: f(2m + 1) = f(2m), 首先,2m + 1 的每個劃分中至少有一個1,去掉這個1,就得到 2m 的一個劃分,故 f(2m + 1)≤f(2m)。 其次,2m 的每個劃分加上個1,就構成了 2m + 1 的一個劃分,故 f(2m)≤f(2m + 1)。 綜上,f(2m + 1) = f(2m)。 接著我們要證明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m), 把 B(2m) 中的劃分中的1去掉一個,就得到 A(2m - 1) 中的一個劃分,故 g(2m)≤f(2m - 1)。 把 A(2m - 1) 中的劃分加上一個1,就得到 B(2m) 中的一個劃分,故 f(2m - 1)≤g(2m)。 綜上,g(2m) = f(2m - 1)。 把 C(2m) 中的劃分的元素都除以2,就得到 A(m) 中的一個劃分,故 h(2m)≤f(m)。 把 A(m) 中的劃分的元素都乘2,就得到 C(2m) 中的一個劃分,故 f(m)≤h(2m)。 綜上,h(2m) = f(m)。 所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。 這就證明了我們的遞推公式。*/ //程式實現: #include<iostream> #define MAXSIZE 1000001 using namespace std; int main(){ int n; int result[MAXSIZE]; result[0] = result[1] = 1; for(int i = 2; i<MAXSIZE; ++i){ if(i%2 == 0){ result[i] = (result[i-1] + result[i/2])%1000000000; } else{ result[i] = result[i-1]%1000000000; } } while(scanf("%d",&n) != EOF) cout<<result[n]<<endl; return 0; }