[leetcode Validate Binary Search Tree]從定義出發，理解二叉搜尋樹

 書呆子的復仇 關注

2015.12.13 12:53* 字數 855 閱讀 181評論 0喜歡 2

附上原題：

一棵二叉樹如果屬於二叉搜尋樹，必須滿足三個條件：

1. 左子樹的所有節點都小於根節點

1. 右子樹的所有節點都大於根節點
2. 左子樹跟右子樹同時也是二叉搜尋樹

我們看到第三條定義本身也是遞迴的。那根據該定義，如何來檢驗一棵二叉樹到底是不是二叉搜尋樹？

首先，如果左子樹跟右子樹其中有一棵不是二叉搜尋樹的情況下，則該二叉樹必定不屬於二叉搜尋樹。那如何判定左子樹跟右子樹是不是二叉搜尋樹呢？好像我們又回到了原來的問題。看一種比較特殊的情況，假如說二叉樹只有一個節點，即沒有左子樹也沒有右子樹，那麼它必定屬於二叉搜尋樹。如果左子樹不存在，右子樹存在的情況下呢？此時左子樹就不需要再考慮是不是二叉搜尋樹了。反之右子樹不存在的情況下也一樣。

因此，對於這個問題，我們可以先考慮一棵二叉樹的葉子節點。比如說有這樣一棵二叉樹：

左子樹跟右子樹都屬於葉子節點，必定是二叉搜尋樹。在符合第三條定義的情況下，再來看前面兩條。根節點大於左子樹的所有節點，難道要用根節點與左子樹的每個節點去比較？我們換個角度想，是不是隻要根節點大於左子樹最大的節點就可以了？因為在確定左子樹屬於二叉搜尋樹的情況下，只要沿著左子樹的根節點出發一直向右即可找到最大的節點。同樣，對於第二個定義，根節點只需小於右子樹最小的節點即可。

我們運用了一種“分而治之”的思想，先考慮最基本的情況，即葉子節點，再得到左子樹和右子樹同時為二叉搜尋樹的前提下，用當前樹的根節點去比較左子樹的最大值和右子樹的最小值。然後演算法不斷得往上回溯，最終得出整棵樹是不是二叉搜尋樹。

根據以上分析，我們設計出如下演算法：

1. 如果當前節點即不存在左子樹也不存在右子樹，直接返回true。

1. 如果當前節點存在左子樹，則驗證左子樹是否為二叉搜尋樹，若是，並且根節點大於左子樹的最大值，則左子樹驗證通過。若左子樹不存在，同樣驗證通過。
2. 如果當前節點存在右子樹，則驗證右子樹是否為二叉搜尋樹，若是，並且根節點小於右子樹的最小值，右子樹驗證通過。若右子樹不存在，同樣驗證通過。
3. 若左子樹跟右子樹同時驗證通過，返回true；否則，返回false。

看程式碼：

class Solution {
public:
    bool isValidBST(TreeNode* root) {

        bool isValidLeft = true;
        bool isValidRight = true;
        if (root) {
            int val = root->val;
            if (root->left) {
                //驗證左子樹是否為二叉搜尋樹，並且根節點大於左子樹的最小值
                isValidLeft = isValidBST(root->left) && (val > fetchMaxNodeVal(root->left));
            }
            if (root->right) {
                isValidRight = isValidBST(root->right) && (val < fetchMinNodeVal(root->right));
            }

            if (!root->left && !root->right) {
                return true;
            }
        }
        return isValidLeft && isValidRight;
    }
private:
    //獲取二叉樹的最大值
    int fetchMaxNodeVal(TreeNode *node) {
        while (node->right) {
            node = node->right;
        }
        return node->val;
    }

    int fetchMinNodeVal(TreeNode *node) {
        while (node->left) {
            node = node->left;
        }
        return node->val;
    }
};
 

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