數表

Description

　　有一張 n*m 的數表，其第i行第j列（1<=i<=n，1<=j<=m）的數值為能同時整除 i和j的所有自然數之和。給定a，計算數表中不大於a的數之和。

Input

　　輸入包含多組資料。
　　輸入的第一行一個整數Q，表示測試點內的資料組數；
　　接下來Q行，每行三個整數n,m,a(|a|<=10^9 )描述一組資料。

Output

　　對每組資料，輸出一行一個整數，表示答案模2^31的值。

Sample Input

2
4 4 3
10 10 5

Sample Output

20
148

Hint

不妨設\(n<m\)

同時整除\(i,j\)的自然數之和就是\(gcd(i,j)\)的約數之和。我們設\(f(i)=\sum_{d|i}d\)。
則:
\[ \displaystyle ans=\sum_{g=1}^{n}f(g)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{g} \rfloor}[gcd(i,j)=1]\\ =\sum_{g=1}^{n}f(g)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{g} \rfloor}\sum_{d|i,d|j}\mu(d) \]

又來套路一波：設\(T=gd\)，\(\displaystyle ans=\sum_{T=1}^{n}\sum_{d|T}\mu(d)f(\frac{n}{d})\lfloor \frac{n}{T} \rfloor\lfloor \frac{m}{T} \rfloor\)。

然後又了a的限制後，我們就將詢問和\(f\)都離線下來排序，加入樹狀數組裡面。

程式碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<iomanip>
#define ll long long
#define N 100005
#define int ll

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int Q;
int pri[N];
bool vis[N];
ll sum[N];
int mu[N];
struct node {
    int id;
    ll sum;
    bool operator <(const node &a)const {
        return sum<a.sum;
    }
}st[N];
int cnt;
struct query {
    int n,m,id;
    ll a;
    bool operator <(const query &x)const {return a<x.a;}
}q[20005];

void pre(int n) {
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]) {
            pri[++pri[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=n;j++) {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) {
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=i;j<=n;j+=i) {
            sum[j]+=i;
        }
    }
    cnt=n;
    for(int i=1;i<=n;i++) st[i]=(node) {i,sum[i]};
}

ll tem[N];
int low(int i) {return i&(-i);}
const ll mod=(1ll<<31);
void add(int v,ll f) {for(int i=v;i<=100000;i+=low(i)) (tem[i]+=f)%=mod;}
void update(int v) {
    for(int i=v;i<=100000;i+=v) {
        if(!mu[i/v]) continue ;
        add(i,(sum[v]*mu[i/v]%mod+mod)%mod);
    }
}

ll Ask(int v) {
    ll ans=0;
    for(int i=v;i;i-=low(i)) (ans+=tem[i])%=mod;
    return ans;
}
ll Ask(int l,int r) {return (Ask(r)-Ask(l-1)+mod)%mod;}
ll ans[20005];
int now;

ll solve(int n,int m) {
    if(n>m) swap(n,m);
    int last;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i=last+1) {
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        (ans+=1ll*(n/i)*(m/i)%mod*Ask(i,last)%mod)%=mod;
    }
    return ans;
}

signed main() {
    pre(100000);
    sort(st+1,st+1+cnt);
    Q=Get();
    for(int i=1;i<=Q;i++) {
        q[i].n=Get(),q[i].m=Get(),q[i].a=Get();
        q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+1+Q);
    int tag=1;
    for(int i=1;i<=Q;i++) {
        while(tag<=cnt&&st[tag].sum<=q[i].a) {
            update(st[tag].id);
            tag++;
        }
        now=i;
        ans[q[i].id]=solve(q[i].n,q[i].m);
    }
    for(int i=1;i<=Q;i++) cout<<ans[i]<<"\n";
    return 0;
}