有一類問題，可以歸結為如下形式：

已知兩個條件：1，f(n) 和 f(n-1) 的遞推關係式； 2，某個f(x) 的具體值。求解：f(n)。

跟高中的某一類數列問題一模一樣...

這個問題有兩條思路：

a，正向推導：根據 f(x) 可以求解 f(x+1)的值，再求f(x+2)，...，求得f(n)。

b，反向推導：根據 f(n) 和 f(n-1) 的關係，以及 f(n-1) 和 f(n-1) 的關係，可以推出 f(n) 和 f(n-2) 的關係，接著推匯出 f(n) 和 f(n-3) 的關係，...，直至求出 f(n) 和 f(x) 的關係，最後將 f(x) 的值代入得到 f(n) 的值。

思路a有明確的初值，有明確的迭代次數，每一次迭代求得的都是具體的值，易於用迴圈實現。

思路b不一樣，它每一步求得的是一個關係式，中間結果含有符號表達式，推到最後一步還要回代才能得到數值結果。遞迴正是這條思路的具體實現。

我們往往覺得比起迴圈，遞迴更難以理解，是因為在迴圈中只要把上一次迴圈的結果拿到放到這一次迴圈，不需要管早期的資料；而在遞迴中，每一次遞推，要用到前面出現過的所有資料。資料量大了，對人腦就是一項很重的負擔，演算也比較吃力。但計算機是絕妙的工具，在遞迴程式中，它會自動進行演算、儲存資料，只要我們確保初值和遞推關係是正確的，並且記憶體和運算能力足夠，就能得到最終結果。

在大多數情況下，迴圈和遞迴異曲同工，都能解決問題，也能相互轉化。但是在某些情況下，考慮到演算法的時間、空間複雜度，我們往往會選擇迴圈；另一些情況下，考慮到可讀性、實現的難易程度，我們會選擇遞迴。

我個人認為所有的遞迴實現都可以改為迴圈。我的理由如下：

在計算機底層，函式呼叫是通過“保護現場->提升堆疊->跳轉到函式對應的指令地址->執行指令->恢復堆疊->恢復現場”來實現的。對於同一個函式，整個過程都是相同的！不同的只是某些實參的值。這樣的話，我們可以利用棧和迴圈，模仿系統呼叫函式的過程，把遞迴函式改寫為迴圈。

有空的時候我改寫幾個試試！