演算法合集之《分治演算法在樹的路徑問題中的應用》
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樹被定義為沒有圈的連通圖，有幾個性質

1. 在樹中去掉一條邊後，得到的圖是不連通的
2. 在樹中新增一條邊後，一定存在一條邊
3. 樹的每一對頂點U和V之間有且只有一條路徑

分治

分而治之，將一個問題分割成一些規模較小的相互獨立的子問題 ,通常在一個線性結構上分治，分至演算法在樹結構上的應用稱為樹分治演算法

• 基於點的分治
  首先，選取一個點將無根樹轉化為有根樹，再遞迴處理以根節點的兒子為根的子樹
  我們選取一個點，要求將其刪除後，節點最多的樹的節點個數最小，這個點被稱為 樹的重心 .
  可以用樹上的動態規劃解決，時間複雜度為O(n),n為樹的節點總數

• 基於邊的分治
  在樹中選取一條邊，將原樹分為兩棵不相交的樹，遞迴處理
  選取的邊要滿足所分離出來的兩棵子樹的節點個數儘量平均，這條邊稱為 中心邊。
  可以用樹上的動態規劃解決，時間複雜度為O(n),n為樹的節點總數
  

定理1
存在一個點使得分出的子樹的節點個數均不大於 N/2

定理2
如果一棵樹中，每個點的度均不大於D，那麼存在一條邊使得分出兩棵子樹的節點個數在 [N/(D+1),N*(D+1)],(N>=2)

POJ1741

題意
給定一個N個節點的帶權樹，定義dist(u,v)為u，v兩點之間的最短路徑長度，路徑長度定義為路徑上所有邊的權和。對於兩個不同的點a，b，如果滿足dist(a,b)<=k

#include<iostream>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<climits>
using namespace std;
const int
 
 maxn=1e4+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int n,k,allnode;
int head[maxn*2];
int num;
int dp[maxn];
int size[maxn];
int Focus,M;
ll dist[maxn];
int deep[maxn];
bool vis[maxn];
ll ans;
struct Edge
{
    int u,v,w,next;
}edge[maxn<<2];
void addEdge(int u,int v,int w)
{
    edge[num].u=u;
    edge[num].v=v;
    edge[num].w=w;
    edge[num].next=head[u];
    head[u]=num++;
}
void init()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(dist,0,sizeof(dist));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    num=0;
}
void getFocus(int u,int pre)
{
    size[u]=1;
    dp[u]=0;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(v==pre||vis[v]) continue;
        getFocus(v,u);
        size[u]+=size[v];
        dp[u]=max(dp[u],size[v]);
    }
    dp[u]=max(dp[u],allnode-size[u]);
    if(M>dp[u])
    {
        M=dp[u];
        Focus=u;
    }
}
void dfs(int u,int pre)
{
    deep[++deep[0]]=dist[u];
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].v,w=edge[i].w;
        if(v==pre||vis[v]) continue;
        dist[v]=dist[u]+w;
        dfs(v,u);
    }
}
int cal(int x,int now)
{
    dist[x]=now,deep[0]=0;
    dfs(x,0);
    sort(deep+1,deep+deep[0]+1);
    int ans=0;
    for(int l=1,r=deep[0];l<r;)
    {
        if(deep[l]+deep[r]<=k)
        {
            ans+=r-l;
            l++;
        }
        else r--;
    }
    return ans;
}
void solve(int x)
{
    vis[x]=1;
    ans+=cal(x,0);
    for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(vis[v]) continue;
        ans-=cal(v,edge[i].w);
        allnode=size[v];
        Focus=0,M=1e9;
        getFocus(v,x);
        solve(Focus);
    }
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt","r",stdin);
        freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF&&(n+k))
    {
        init();
        for(int i=1,u,v,w;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            addEdge(u,v,w);
            addEdge(v,u,w);
        }
        Focus=ans=0;
        allnode=n,M=1e9;
        getFocus(1,0);
        solve(Focus);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

聰聰可可 HYSBZ - 2152

連結

題意

這道題和POJ1741非常類似，這裡只不過多了一步轉化，要處理3的倍數，在建圖和統計的時候都進行模3操作，這樣最後兩個點之間的距離只可能是0，1，2，然後就可以用他們組合為3的倍數，首先0和0組合，1和2組合，2和1組合【題中（1，2）和（2，1）不同】 分子可以由樹分治求出來，分母必然是N*N

#include<iostream>
#include<map>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<climits>
using namespace std;
const int maxn=2e4+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int n,k,allnode;
int head[maxn*2];
int num;
int dp[maxn];
int size[maxn];
int Focus,M;
ll dist[maxn];
int deep[maxn];
bool vis[maxn];
int ans;
int cnt[4];
struct Edge
{
    int u,v,w,next;
}edge[maxn<<2];
void addEdge(int u,int v,int w)
{
    edge[num].u=u;
    edge[num].v=v;
    edge[num].w=w;
    edge[num].next=head[u];
    head[u]=num++;
}
void init()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(dist,0,sizeof(dist));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    num=0;
}
void getFocus(int u,int pre)
{
    size[u]=1;
    dp[u]=0;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(v==pre||vis[v]) continue;
        getFocus(v,u);
        size[u]+=size[v];
        dp[u]=max(dp[u],size[v]);
    }
    dp[u]=max(dp[u],allnode-size[u]);
    if(M>dp[u])
    {
        M=dp[u];
        Focus=u;
    }
}
void dfs(int u,int pre)
{
    cnt[deep[u]]++;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(v==pre||vis[v]) continue;
        deep[v]=(deep[u]+edge[i].w)%3;
        dfs(v,u);
    }
}
int cal(int x,int now)
{
    deep[x]=now;
    cnt[0]=cnt[1]=cnt[2]=0;
    dfs(x,0);
    return cnt[1]*cnt[2]*2+cnt[0]*cnt[0];
}
void solve(int x)
{
    ans+=cal(x,0);
    vis[x]=1;
    for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(vis[v]) continue;
        ans-=cal(v,edge[i].w);
        allnode=size[v],M=1e9,Focus=0;
        getFocus(v,x);
        solve(Focus);
    }   
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt","r",stdin);
        freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    scanf("%d",&n);
    init();
    for(int i=1,u,v,w;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addEdge(u,v,w%3);
        addEdge(v,u,w%3);
    }
    allnode=n,Focus=0,M=1e9;
    getFocus(1,0);
    solve(Focus);
    int t=__gcd(ans,n*n);
    printf("%d/%d\n",ans/t,n*n/t);
    return 0;
}