【TJOI/HEOI2016】求和

這題好難啊！！

斯特林數+NTT。

首先我們將第二類斯特林數用容斥展開，具體原理不解釋了。

\(\displaystyle S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^{j}(-1)^{k}C_j^k(j-k)^i=\sum_{k=0}^{j}\frac{(-1)^k}{k!}\cdot\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\)。

我們交換一下\(\sum\)的順序：

\(\displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{i=0}^{n}S(i,j)\)。這裏\(i\)從0開始枚舉是沒有問題的，因為\(j>i時，S(i,j)=0\)

將斯特林數展開：
\[ \displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{i=0}^{n}\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\cdot\frac{(j-k)^i}{(j-k)!}\=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\sum_{i=0}^n\frac{(j-k)^i}{(j-k)!} \]
很容易看出，最後一個\(\sum\)是一個等比數列求和。

於是我們設\(g(i)=\frac{i^{n+1}-1}{(i-1)*i!}，特別地，g(0)=1,g(1)=n+1\)。

於是\(\displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}g(j-k)\)

我們又設\(h(i)=\frac{(-1)^i}{i!}\)，則\(\displaystyle f(n)=\sum_{j=0}^{n}2^jj!\sum_{k=0}^jh(k)g(j-k)\)

\(\displaystyle \sum_{k=0}^jh(k)g(j-k)\)是個卷積，可以用NTT來計算。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 998244353
#define N 200005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n;
ll fac[N],inv[N];
ll ksm(ll t,ll x) {
    ll ans=1;
    for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
        if(x&1) ans=ans*t%mod;
    return ans; 
}
ll a[N<<2],b[N<<2],q[N];
const ll g=3;
ll tem[N<<2];
int rev(int x,int len) {
    int ans=0;
    for(;len;len--,x>>=1) ans=ans<<1|x&1;
    return ans;
}

void NTT(ll *a,int x,int flag) {
    int n=1<<x;
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev(i,x)) swap(a[i],a[rev(i,x)]); 
    tem[0]=1;
    for(int s=1;s<=x;s++) {
        int len=1<<s,mid=len>>1;
        ll w=flag==1?ksm(g,(mod-1)/len):ksm(g,mod-1-(mod-1)/len);
        for(int i=1;i<mid;i++) tem[i]=tem[i-1]*w%mod;
        for(int i=0;i<n;i+=len) {
            for(int j=0;j<mid;j++) {
                ll u=a[i+j];
                ll v=tem[j]*a[i+j+mid]%mod;
                a[i+j]=(u+v)%mod;
                a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(flag==-1) {
        ll inv=ksm(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
    }
}

int bl[1000];
int main() {
    n=Get();
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    
    int flag=1;
    for(int i=0;i<=n;i++,flag*=-1) {
        if(flag==1) a[i]=inv[i];
        else a[i]=(mod-inv[i])%mod;
    }
    q[0]=1;
    q[1]=n+1;
    
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        q[i]=((ksm(i,n+1)-1)*ksm(i-1,mod-2)%mod+mod)%mod;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++) b[i]=q[i]*inv[i]%mod;
    
    int x=0;
    for(int len=n<<2;len;len>>=1,x++);
    NTT(a,x,1),NTT(b,x,1);
    for(int i=0;i<(1<<x);i++) a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    NTT(a,x,-1);
    
    ll ans=0;
    ll p=1;
    
    for(int i=0;i<=n;i++) {
        (ans+=p*fac[i]%mod*a[i]%mod)%=mod;
        p=(p<<1)%mod;
    }
    
    cout<<ans;
    return 0;
}
 

【TJOJI\HEOI2016】求和