1.群的定義：封閉性，結合性，恆元，逆元

2.群的乘法表以及重排定理，乘法表中每一行每一列所有群元素只能出現一次

3.子群

4.培集:子集S∈G，又元素X∈G，但X不屬於S

右培集SX,左培集XS

D3群子群{E,D,F}，計算左培集A{E,D,F}, B{E,D,F},C{E,D,F} = {A,B,C}

子群{E,A}，計算左培集B{E,A}, C{E,A},D{E,A}, F{E,A}

5.不變子群，左培集等於右培集的子群

可以驗證D3群的子群{E,D,F}為不變子群，左培集等於右培集

6.群元素的共軛與類

群元素，A,B,C∈G，B=XAX^(-1)，則稱A與B共軛，類比相似矩陣，所有共軛元素構成一類

7.類具有性質

(a)單位元自成一類

(b)類相互獨立，彼此無公共元

(c)除E外，所有類都不是群

8.群的分類方法

(a)基本方法，利用群表進行分類，取兩個元素，X,A,X^(-1)，計算乘積XAX^(-1)，完整的分類整個群表需要計算N次

(b)阿貝爾群，每個元素自成一類

(c)矩陣的群表示，相似矩陣

D3群分類如下E,{A,B,C} {D,F}

9. 商群

不變子群N∈G，以N以及其培集為群元,乘法為其原來的乘法，構成商群，及階為g/n

例如D3群的不變子群{E,D,F}，培集{A,B,C}

商群{{E,D,F},{A,B,C}},這是一個二階群，群元素即為原來的群

10.同構

群元素一一對應，群乘法一一對應

11.同態

總得來說，這裡研究群的方法是寫出乘法表，根據乘法表得到子群，由子群計算陪集，由陪集得到不變子群，由不變子群和培集可以計算商群，計算群中的共軛類，就可以對群元素進行分類。