數理統計基礎知識

• 1. 總體、個體和樣本
• 2. 統計量與充分統計量
• 統計量
• 常用統計量
• 順序統計量
• 充分統計量

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1. 總體、個體和樣本

在使用數理統計方法研究某個實際問題時，往往把所研究物件的全體稱為總體，而把組成總體的每個基本單位稱為個體。

例如：某一批燈泡組成一個總體，而每個燈泡都稱為個體；又如某個學校的所有學生被稱為總體，每個學生都稱為個體。

在數理統計中，總體或者是個體本身並不是我們所關心的，我們關心的是它們的某個特性或者說某個指標，如燈泡的壽命、學生的身高等，壽命和身高都是隨機變數

。

當我們需要對總體的某個特徵進行研究時，往往不能對所有個體進行試驗，一種可行的方法就是對總體進行抽樣調查。數理統計的基本任務就是通過抽樣結果來推斷總體的統計規律。

對總體，把在相同條件下對隨即變數X進行的n次重複獨立觀察，成為n次簡單隨機抽樣，簡稱簡單抽樣。用X_i表示第i次觀察結果，那麼對總體X的n次重複獨立觀察所得結果記為X₁，X₂，…，X_n。每個X_i都是一個與總體X有相同分佈的隨機變數，且X₁，X₂，…，X_n相互獨立，稱隨機變數X₁，X₂，…，X_n為來自總體X的簡單隨機樣本，簡稱簡單樣本。

抽樣觀察的結果是n個具體數值x₁，x₂，…，x_n，稱其為簡單樣本X₁，X₂，…，X_n的一組觀察值，成為樣本觀察值

。

一般來說，不同的抽樣得到樣本X₁，X₂，…，X_n的不同觀察值，樣本所有可能取值的全體稱為樣本空間，用Ω表示，樣本觀察值實際就是樣本空間中的一個點，稱其為樣本點。

例如：把一枚硬幣重複獨立的擲三次，正面記為1，反面記為0。用X₁，X₂，X₃表示三次可能的結果，可知樣本空間Ω=
{(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(0，1，1)，(1，0，0)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}。樣本觀察值可能為(0，1，1)，它是樣本空間中的一個樣本點。

此外，樣本的數量稱為樣本容量。

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2. 統計量與充分統計量

統計量

我們知道，樣本是總體的代表和反映，是對總體進行統計分析和推斷的依據。因此，為了提取出樣本中有關總體的資訊，我們需要引入統計量的概念。

統計量是樣本的函式，它的作用是彙集樣本中有關總體的資訊。

值得特別注意的是：統計量僅為樣本 $X_1, X_2, ...X_n$的函式，它不包含總體的任何未知量。這一點非常重要，是理解、求解和利用統計量的重點。

下面給出統計量的定義：
定義1： 設 $X_1, X_2, ... X_n$為來自總體X的簡單樣本，若樣本的函式 $T(X_1, X_2, ... X_n$中不包含任何未知引數，則稱此函式為統計量。

例如， $\displaystyle\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$僅為樣本 $X_1, X_2, ... X_n$的函式，因此它是統計量；而 $\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$中包含未知引數 $\mu$，因此它不是統計量。

常用統計量

下面介紹幾個常用的統計量。設 $X_1, X_2, ... X_n$為來自總體X的簡單樣本。

(1) 統計量 $\displaystyle\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$稱為樣本均值，它反映了樣本的平均取值，描述了樣本的集中取值趨勢。

(2) 統計量 $\displaystyle S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})^2}$稱為為樣本方差，它描述了樣本取值的分散程度大小，稱 $S$為樣本標準差。

(3) 統計量 $\displaystyle A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X_i^k}$稱為樣本k階原點矩。

(4) 統計量 $\displaystyle B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})^k}$稱為樣本k階中心矩。

順序統計量

除了樣本矩之外，還有一類十分重要的統計量，稱為樣本順序統計量，它在數理統計中有著廣泛的應用。下面給出樣本順序統計量的定義：

定義2： 將樣本 $X_1, X_2, ... X_n$的觀察值 $x_1, x_2, ... x_n$按從小到大遞增的順序進行排列，記為 $x_{(1)}, x_{(2)}, ... x_{(n)}$。其中， $x_{(1)}, x_{(2)}, ... x_{(n)}$

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