微積分生態圈的核心價值何在？

所謂“微積分生態圈”指的就是“知識共享”數學生態圈。這個生態圈存在的核心價值是什麼？

問題的答案是，非標準分析。也就是說，沒有魯賓遜的非標準分析，這個數學生態圈就沒有實際存在的價值。

大家知道，非標準分析（概念上又可稱為實無窮小分析）(英語：Non-standard analysis)是一個數學分支（也稱為“非標準數學”），它用嚴格定的無窮小數（infinitesimal number）的概念來構建現代分析數學。

    坦率地說，光有非標準分析，而沒有本世紀興起的“知識共享”運動的推動，世界上絕對不會出現什麼“微積分生態圈”。也就是說，沒有“知識共享”許可協議，微積分生態圈就無從談起。

    總之，處於微積分生態圈之中，學微積，必定要共享，數字化教材電子版不可少。

袁萌 陳啟清  11月26日

附：非標準分析簡介（摘譯）

非標準分析（概念上又可稱為實無限分析）(英語：Non-standard analysis)是一個上世紀新興的數學分支（也稱為“非標準數學”），它用嚴格定的無窮小數（infinitesimal number）的概念來構建現代分析數學，比如，無窮小微積分。

產生的歷史

實無窮的概念源自G•W•萊布尼茲，將微積分中的dx, dy等符號視為實際存在的無窮小量，而dy/dx則是它們之間的比值，也就是無限小尺度下的斜率。

在G•W•萊布尼茲的時代，實無限的概念雖然符合直覺，但是被批評為不夠嚴謹。

在德國數學家卡爾•魏爾斯特拉斯（1815-1897）創建極限的潛無窮概念，替代實無限作為微積分的基礎時，被學界認為是微積分的一大勝利，即能夠嚴謹地表示與證明。

卡爾•魏爾斯特拉斯的方法稱為潛無窮方法，亦即定義和證明的過程都不涉及實際的無窮小  "量""，而以可無限趨近的""程式""取代。

上世紀60年代初，德國數學家亞伯拉罕•魯濱遜提出非標準分析，重新回到G•W•萊布尼茲的實無限方法，並以此建構出一個嚴謹的數學基礎。他寫道：

（...）無限小或無窮小量的想法在我們的直覺中出現得很自然的。不管怎麼說，在微分和積分演算方法的形成之初，已經常用到了無窮小量。至於有人反對說（...）兩個不同實數之間的距離不能無限小，G•W•萊布尼茲卻認為，無窮小量理論使我們必需引入一種理想的數，它們比起實數而言可能無限小或者無限大，但都與後者擁有相同的性質。不過，無論是他本人，他的弟子們抑或後來的繼承者們，都沒能夠把這種想像中的系統合理地發展出來。因此，無窮小量的理論逐漸遭到冷落，並最終為經典的極限理論所取代。

魯濱遜繼續說道：本書表明萊布尼茨的思想是完全可以得到平反的（！！），而且還可以引出無論對經典分析還是對其它數學分支而言都能帶來豐碩果實的全新方法。數學語言和數學結構之間的關係是現代模型論的基石，而對它的詳細分析即是本書方法的關鍵。

 （誰說魯賓遜不懂“模型論”？胡說。……以下省略）