面試過程中的排列組合和趣味性題目二
阿新 • • 發佈：2018-11-27
面試過程中的排列組合和趣味性題目
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- Problem 59
- problem 60
感想
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problem 31
- 四維空間中有兩個夾角60度的向量A和B，隨機生成一個向量C分別與A和B計算內積，那麼兩個內積符號相同的概率為____。
內積 A · B=|A| · |B| · cos<A,B> ， 內積的正負由A,B夾角餘弦決定， 夾角的取值範圍為[0， Π] 設 A 向量方向為 X 軸正方向，B向量為60度 (當然也可能為120度，只考慮第1和第2象限，其他象限概率相同，特值為60度是合理的) 則 C 與 A的夾角為 [ 0, Π /2 ]為正 ，[ Π /2， Π ]為負； 則 C 與 B的夾角為 [ Π /3 , Π /2+ Π /3 ]為正 ，[ Π /2+ Π /3 ， Π ]為負 因此: 2 Π / 3 / Π =2/3
problem 32
- 52張牌，沒有大小王，平均分給4個人，至少一個人拿到至少2張A的概率是多少？
52張牌分給四個人，則每人13張，全排列是52！
至少一個人拿到至少2張A的反面情況即為：4個人每個人拿一張A
這種情況為：每13張牌中有一個是A，四個A的全排列為4！，則此種情況一共為：
4! * C(13,1) * C(13,1) * C(13,1) * C(13,1)乘以剩下的48張牌的全排48！
所以答案應該為：1- 4! * C(13,1) * C(13,1) * C(13,1) * C(13,1)*48！/52!
約等於 0.895
learning
- 隨機變數的分佈密度積分為1
- 假設檢驗的基本思想是小概率 反證法 思想。小概率思想是指小概率事件(P<0.01或P<0.05)在一次試驗中基本上不會發生。 反證法 思想是先提出假設(檢驗假設H0)，再用適當的統計方法確定假設成立的可能性大小，如可能性小，則認為假設不成立，若可能性大，則還不能認為不假設成立。
problem 33
- 設事件A,B 相互獨立，且已知P(A)=0.6, P(A U B)=0.7, 則P(B)= （ ）
P(A U B)=0.7 = P(A) + P(B) - P(AB),由於A和B相互獨立，
則P(AB) = P(A)*P(B)，且P(A)=0.6，可得P(B) = 1/4
problem 34
- 每臺物理計算機可以虛擬出 20 臺虛擬機器，假設一臺虛擬機發生故障當且僅當它所宿主的物理機發生故障。通過 5 臺物理機虛擬出100 臺虛擬機器，那麼關於這 100 臺虛擬機器的故障的說法正確的是（）？
A 單臺虛擬機器的故障率高於單臺物理機的故障率
B 這 100 臺虛擬機發生故障是彼此獨立的
C 這100臺虛擬機器單位時間內出現故障的個數高於100臺物理機單位時 間內出現故障的個數
D 無法判斷這 100 臺虛擬機器和 100 臺物理機哪個更可靠
E 如果隨機選出 5 臺虛擬機器組成叢集， 那麼這個叢集的可靠性和 5 臺物 理機的可靠性相同
F 可能有一段時間只有一臺虛擬機發生故障
- 對於D選項：100臺虛擬機器，也就是隻有5臺物理機。
假設物理機的故障率為a，那麼5臺物理機的可靠率為1-a^5，
而100臺物理機的可靠率為1-a^100，因此5臺物理機的可靠率要低於100臺物理機的可靠率，
即100臺虛擬機器的可靠率低於100臺物理機的可靠率。
- E 當且僅當5臺虛擬機器分佈在5臺物理機上時才相同
- F不可能， 一故障最少20臺
- A相等
- B不獨立， 一臺物理機上的虛擬機器相關
problem 35
- 考慮一個特殊的hash函式h，能將任一字串hash成一個整數k，其中概率P(k)=2^(-k)，k=1,2,…∞。對一個未知大小的字串集合S中的每一個元素取hash值所組成的集合為h(S)。若h（S）中最大的元素max h (S) = 10，那麼S的大小的期望是_______。
先來一個簡單的問題，一個色子，擲到6的期望是多少次呢。我相信這題目應該都能答出來，6次。六分之一的倒數就是6次了，
但是要講出裡面的原因可不太簡單。其實算這個期望次數可以按如下過程，假設期望是E。
假設第一次擲到不是6，則概率是5/6,那麼就期望還需要E次才能夠擲到6，這個過程的期望是5/6*(1+E)，
假設第一次擲到6，那麼這個過程的期望就是1，概率是 1/6，
綜合以上可以看出來，E=5/6*(1+E) + 1/6 * 1
解出來的到E=6。
因此這個筆試題一樣可以這樣解決，假設期望大小是E，
假設第一個字串大小不是10，那麼概率是1-1/(2^10)，
並且這個過程的期望就變成了E+1，如果第一次字串大小是10，
那麼這個過程的期望變為1，但是概率變為1/(2^10)。
因此E=(1-1/(2^10))*(1+E) + 1/(2^10)1/6 * 1 解出來E就是2^10=1024了
reference
problem 36
- 袋子中分別一疊紙幣，其中5元面值的紙幣6張，10元面值的紙幣5張，20元面值的紙幣4張，從袋子中任意取4張紙幣，則每種面值至少取到一張的概率為____。
C（6,2）*C（5,1）*C（4,1）+C（6,1）*C（5,2）*C（4,1）+C（6,1）*C（5,1）*C（4,2）/(C(15,4)
=48/91
problem 37
- 當前國內A股市場的新股發行採取的是抽籤申購的方式。假設最多可以申購某新股X 1萬股，以1千股為單位分配一個號碼進行抽籤，每個號碼抽中與否是相互獨立的且概率為0.5%，X的發行價是10元,漲至15元和20元的概率均為50%，那麼在最大申購的情況下盈利的期望是____。
- 抽中的概率：（10000/1000）*0.5%=5%
- 股票數：1000*5%=50
- 盈利=（（15-10）*50%+（20-10）*50%）*50=375
problem 38
- 有4副相同的牌,每副牌有4張不同的牌.先從這16張牌中,隨機選4張出來.然後,在這4張牌中隨機選擇一張牌,然後把抽出的一張放回3張中,再隨機選擇一張牌.與上次選出的牌一樣的概率是()
- 直接看第二次抽樣即可，與第一次抽的是同一張牌的概率是1/4，
- 不同張的概率是3/4，同一張的話肯定是一樣，
- 不同張的時候如果抽中一樣的牌的概率是3/15，
- 所以答案是1/4+3/4 * 3/15 = 2/5
problem 39
- 某公司有這麼一個規定：只要有一個員工過生日，當天所有員工全部放假一天。但在其餘時候，所有員工都沒有假期，必須正常上班。假設一年有365天，每個員工的生日都概率均等地分佈在這365天裡。那麼，這個公司需要僱用多少員工，才能讓公司一年內所有員工的總工作時間期望值最大
由於期望值滿足線性關係（即對於隨機變數 X 和 Y 有 E(X) + E(Y) = E(X+Y) ），
因此我們只需要讓每一天員工總工作時間的期望值最大就可以了。
假設公司裡有 n 個人，那麼在特定的一天裡，沒有人過生日的概率是 (364/365) n 。
因此，這一天的期望總工作時間就是 n · (364/365) n 個工作日。
為了考察函式 n · (364/365) n 的增減性，
我們來看一下 ((n+1) · (364/365) n+1 ) / (n · (364/365) n ) 的值，它等於 (364 · (n+1)) / (365 · n) 。
如果分子比分母小，解得 n > 364 。可見，要到 n = 365 以後，函式才是遞減的。
答案：365
problem 40
- An insurance company has a paper record and an electronic record for every claim. For an inaccurate paper record, 60% chances that the electronic record is inaccurate. For an inaccurate electronic record, 75% chances that the paper record is inaccurate. 3% of all the claims are inaccurate both in paper record and in electronic record. Pick one claim randomly, what are the chances that it is both accurate in paper record and in electronic record?
- p為紙質文件，e為電子文件，0為錯誤，1為正確。
設總概率為1，四種情況表示為p（00）+p（01）+p（10）+p（11）=1。
依題意，有p（00）=3%，
p（00）/p（00）+p（01）=60%
p（00）/p（00）+p（10）=75%
可得四種情況分別為
00 3%
01 2%
10 1%
11 94%
problem 41
- 某種產品中，合格品率為85%。
一個合格品被檢查成次品的概率是10%，一個次品被檢查成合格品的概率為5%。
問題：求一個被檢查成合格品的產品確實為合格品的概率（）
被檢查為合格品且為合格品的概率：0.85*0.9；
被檢查為合格品概率為：0.85*0.9 + 0.15*0.05；
條件概率：(0.85*0.9) / (0.85*0.9 + 0.15*0.05) = 0.99；
problem 42
- 黑白球各5000個，每次從其中取兩個出來，若同色，則放回一個黑球，否則放回一個白球，問最後剩下的是黑球的概率是多少？100%
- 取出2個黑球：白球不變，黑球個數減1
取出2個白球：白球個數減2，黑球個數加1
取出1黑1白：白球不變，黑球個數減1
也就是說，白球的個數 不是減2就是不變，所以白球的個數一直為偶數，5000，4998，.....2,0,也就是說，如果最後剩下了一個球，那麼這個球絕對不可能是白球，只能是黑球.
problem 43
- 在正方體上任取三個頂點連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為
共有8個頂點，總的有C（8,3）種選擇。
直角非等腰：任取某一條邊上的兩點，
取其以對角線為對面的那一條邊上兩個頂點的任意一個。一共有12條邊x2種頂點=24
24/C(8,3)=24/56=3/7。
problem 44
- 一個機器人玩拋硬幣的遊戲，一直不停的拋一枚不均勻的硬幣，硬幣有A,B兩面，A面的概率為3/4，B面的概率為1/4。問第一次出現連續的兩個A年的時候，機器人拋硬幣的次數的期望是多少？
假設拋硬幣的次數期望為 T，若第一次為B，則需重新開始，若第一個為A, 第二次為B，也需要重新開始，若兩次都為A，則遊戲結束，由此得到：
T = 1/4 * (1+T) + 3/4 * 1/4 * (T+2) + 3/4 * 3/4 * 2
計算得到 T = 28 / 9
problem 45
- 設A,B,C 為三個事件，且A,B 相互獨立，則以下結論中不正確的是
A. 若PC=1，則AC與BC也獨立.
B. 若PC=1，則A並C與B也獨立.
C. 若PC=0，則A並C與B也獨立.
D. 若C屬於B，則A與C也獨立.
- 獨立需要P(AC)=P(A)*P(C)
- 假設P：A,B,C均不為0，而A，B相交
- 且P(AB)=P(A)P(B),C為B中不與A相交的部分（C=B-A∩B），
- 那麼明顯P(AC)=0!=P(A)P(C)
problem 46
- 中關村電子城某賣手機的店鋪給客人報價，如果按照底價500元（成本價）報出，那麼客人就一定會選擇在該店鋪購買；價格每增加1元，客人流失的可能性增加1%。那麼該店鋪給客人報出的最優價格是？
- 我們假設賣500元的時候會有N個顧客購買
- 設賣價是在成本價500的基礎上增加X元得到，則顧客流失X%
- 最終受益為X*（N*(1-X%)）,即每本書的受益乘以購買量
X*（N*(1-X%)）化簡為 （-xx+100x）N/100
問題轉化為二次函式最值問題
很明顯，當x=50是，函式去最大值
也就是售價為550元
problem 47
- 甲乙兩路車發車間隔均為10分鐘的公交車發車時刻分鐘數各位分別為2和8，那麼對於一個隨機到達的乘客，他乘坐甲車的概率為：______
- 10分鐘一班，題目結果即為10分鐘以內乘坐甲車概率的計算。
- 從0開始，在2分鐘前都是等甲車的，那麼就有0.2的機率了，
- 從2分鐘過後到8分鐘這段時間內都是等乙車的，每分鐘0.1，
- 那麼就有0.6了的機率是等乙車的。
- 那麼8分鐘過後呢？那隻能等下一班的甲車了，同樣每一分鐘0.1，
- 到10分鐘為止，就累積了0.2，
- 這時又該從頭算起了，那麼甲車的概率為一開始的0.2加上8分鐘後的0.2，則為0.4
problem 48
- 一堆硬幣,一個機器人,如果是反的就翻正,如果是正的就拋擲一次,無窮多次後,求 正反的比例()
- 1.狀態轉移條件，如果為反就翻正，如果是正就拋擲一次
- 2.狀態終止條件，本次翻轉後得到的正反比例，和下次翻轉後得到的正反比例相同 設某個階段正面的比例為p，則反面的比例為1-p。
- 下一次執行轉移條件，正面的比例為p/2 + (1-p)，反面的比例為p/2，
- 根據終止條件得到方程： p / (1-p) = (p/2 + (1-p)) / (p/2) ==> p = 2 / 3;
- 本次正面 ：本次反面 == 下次正面 ：下次反面 因此正反比例為 p / (1-p) = 2 : 1
problem 49
- 有1,2,3,…無窮個格子，你從1號格子出發，每次1/2概率向前跳一格，1/2概率向前跳兩格，走到格子編號為4的倍數時結束，結束時期望走的步數為____。
- 跳一格跳兩格都算一步；
dp(i,j)表示從格子i到格子j的期望步數：
dp(1,4)=1+0.5*dp(2,4)+0.5*dp(3,4)；
dp(2,4)=1+0.5*dp(3,4)+0.5*dp(4,4);
dp(3,4)=1+0.5*dp(4,4)+0.5*dp(1,4);
dp(4,4)=0;
求解上述方程得到dp(1,4)=18/5;
- 每次先走一步，然後再加上之後的期望。比如：dp(2,4)=1+0.5*dp(3,4)+0.5*dp(4,4);
- 指的是從第二個格子到第四個格子的期望，先走一次要加1，
- 可能走一步到達第三個格子所以加上dp(3,4).
- 還可能走兩步到達第四個格子所以加上dp（4，4）。
problem 50
- 老王有兩個孩子，已知至少有一個孩子是在星期二出生的男孩。問：兩個孩子都是男孩的概率是多大？
- 姐妹倆：不用看了，不滿足至少有一個週二男孩的條件。
- 兄妹倆：那哥哥一定是週二出生的了，妹妹出生的星期數有7種可能。
- 姐弟倆：弟弟一定是週二出生，姐姐出生的星期數有7種可能。
- 兄弟倆：兄弟二人出生的星期數總共有7 * 7 = 49種可能，但其中有6 * 6 = 36種都不滿足至少有一個人是週二出生的條件，因此實際上有49 - 36 = 13種可能。
- 因此，滿足條件的情況（這裡的情況是指綜合考慮孩子的性別和出生星期數）總數為7 + 7 + 13 = 27。而其中有13種可能對應於兩個孩子都是男孩。因此題目所求概率是13 / 27。
reference
老王有兩個孩子，已知至少有一個孩子是在星期二出生的男孩。問：兩個孩子都是男孩的概率是多大？
problem 51
- 甲、乙兩人相約12：00～13：00在某地會面，假定每人在這段時間內的每個時刻到達會面地點的可能性是相同的，先到者等20min後便離去，試求兩人會面的概率。
在平面上建立如圖所示的直角座標系，
直線x=60，直線y=60，x軸、y軸圍成一個正方形區域G，
設甲12時x分到達會面地點，乙12時y分到達會面地點，
這個結果與平面上的點（x，y）對應，
於是試驗的所有可能結果就與G中的所有點一一對應，
由題意知，每一個試驗結果出現的可能性是相等的，
因此，試驗屬於幾何概型。
當且僅當甲、乙兩人到達會面地點的時間差不超過20min 時，
甲、乙兩人能會面，即|y-x|≤20，
因此，圖中的陰影區域g就表示“甲、乙兩人能會面”，
容易求得g的面積為602-402=2000，G的面積為3600，
由幾何概型的概率計算公式，
“甲、乙兩人能會面”的概率P=2000/3600=5/9
reference
problem 52
- 猴子吃香蕉問題
一個小猴子邊上有100 根香蕉，它要走過50 米才能到家，每次它最多搬50 根香蕉，每走1 米就要吃掉一根，請問它最多能把多少根香蕉搬到家裡。
設 小猴從0 走到50, 到A 點時候他可以直接抱香蕉回家了,
可是到A 點時候他至少消耗了3A 的香蕉( 到A, 回0, 到A),
一個限制就是小猴只能抱50 只香蕉, 那麼在A 點小猴最多49 只香蕉.
100-3A=49, 所以A=17.
這樣折騰完到家的時候香蕉剩100-3A-(50-A)=50-2A=16.
problem 53
- 如何用一枚硬幣等概率地產生一個1到3之間的隨機整數？
如果這枚硬幣是不公正的呢？
如果是公正的硬幣，則投擲兩次，“正反”為1，“反正”為2，“正正”為3，“反反”重來。
如果是不公正的硬幣，注意到出現“正反”和“反正”的概率一樣，
因此令“正反反正”、“反正正反”、“正反正反”分別為1、2、3，其餘情況重來。
另一種更妙的辦法是，投擲三次硬幣，“正反反”為1，“反正反”為2，“反反正”為3，
其餘情況重來。
problem 54
- 30枚面值不全相同的硬幣擺成一排，甲、乙兩個人輪流選擇這排硬幣的其中一端，並取走最外邊的那枚硬幣。
如果你先取硬幣，能保證得到的錢不會比對手少嗎？
先取者可以讓自己總是取奇數位置上的硬幣或者總是取偶數位置上的硬幣。
數一數是奇數位置上的面值總和多還是偶數位置上的面值總和多，
然後總是取這些位置上的硬幣就可以了。
problem 55
- 一個環形軌道上有n個加油站，所有加油站的油量總和正好夠車跑一圈。證明，總能找到其中一個加油站，使得初始時油箱為空的汽車從這裡出發，能夠順利環行一圈回到起點。
總存在一個加油站，僅用它的油就足夠跑到下一個加油站
（否則所有加油站的油量加起來將不夠全程）。
把下一個加油站的所有油都提前搬到這個加油站來，並把油已被搬走的加油站無視掉。
在剩下的加油站中繼續尋找油量足以到達下個加油站的地方，不斷合併加油站，
直到只剩一個加油站為止。顯然從這裡出發就能順利跑完全程。
另一種證明方法：
先讓汽車油箱裡裝好足夠多的油，隨便從哪個加油站出發試跑一圈。
車每到一個加油站時，記錄此時油箱裡剩下的油量，然後把那個加油站的油全部裝上。
試跑完一圈後，檢查剛才路上到哪個加油站時剩的油量最少，那麼空著油箱從那裡出發顯然一定能跑完全程。
problem 56
- 有20瓶藥丸，其中19瓶裝有1克/粒的藥丸，餘下一瓶裝有1.1克/粒的藥丸。給你一臺稱重精準的天平，怎麼找出比較重的那瓶藥丸？天平只能用一次。
如果從藥瓶#1取出一粒藥丸，從藥瓶#2取出兩粒藥丸，那麼，稱得重量為多少呢？
結果要看情況而定。如果藥瓶#1的藥丸較重，則稱得重量為3.1克。
如果藥瓶#2的藥丸較重，則稱得重量為3.2克。
將之前兩瓶藥丸的解法加以推廣，就能得到完整解法：從藥瓶#1取出一粒藥丸，從藥瓶#2取出兩粒，從藥瓶#3取出三粒，依此類推。
如果每粒藥丸均重1克，則稱得總重量為210克
（1 + 2 + … + 20 = 20 * 21 / 2 = 210），
“多出來的”重量必定來自每粒多0.1克的藥丸。
藥瓶的編號可由算式(weight – 210 grams) / 0.1 grams得出。
因此，若這堆藥丸稱得重量為211.3克，則藥瓶#13裝有較重的藥丸。
problem 57
- 假設淘寶網上某商品A在任一時刻t內若有人瀏覽，則該商品在下一時刻t+1內無人瀏覽的概率為0.35（即下一時刻的瀏覽情況僅與當前時段相關），定義此條件概率為 P(O_{t+1}=0|O_t=1)=0.35(即用“1”代表有人瀏覽的事件，用“0”代表無人瀏覽的事件），類似得定義P(O_{t+1}=1|O_t=1)=0.65，P(O_{t+1}=0|O_t=0)=0.4，P(O_{t+1}=1|O_t=0)=0.6。若此商品A在t=0時有人瀏覽，它在t=100000時有人瀏覽的概率是____。
Problem 58
- 在區間[-2, 2]裡任取兩個實數，它們的和>1的概率是()
轉換成座標系就是一個線性規劃的題目，x+y>1 占上述舉行的面積比
Problem 59
- 小a和小b一起玩一個遊戲，兩個人一起拋擲一枚硬幣，正面為H，反面為T。兩個人把拋到的結果寫成一個序列。如果出現HHT則小a獲勝，遊戲結束。如果HTT出現則小b獲勝。小a想問一下他獲勝的概率是多少？
隨機過程中的First Step Analysis
設P_s表示狀態為s時'HHT'發生的概率。顯然我們有P(HHT)=1以及P(HTT)=0。
Nill表示還沒有拋時的狀態，這時有1/2的概率變成H還有1/2的概率變成T，
變成T時相當於又回到Nill。
我們要求的即P(Nill)。
由狀態轉移圖，可以列出式子:
P(Nill) = 1/2*P(Nill) + 1/2*P(H)
P(H) = 1/2*P(HH) + 1/2 * P(HT)
P(HH) = 1/2*P(HH) + 1/2*P(HHT)
P(HT) = 1/2*P(H) + 1/2*P(HTT)
p(HHT) = 1
P(HTT) = 0
最後可以解得 P(Nill) = 2/3
problem 60
- a和b兩個人每天都會在7點-8點之間到同一個車站乘坐公交車，a坐101路公交車，每5分鐘一班【7:00,7:05……】，b坐102路公交車，每10分鐘一班【7:03,7:13…】，問a和b碰面的概率是多少？（ ）
以b作為物件：對於每個10分鐘來說,相遇概率計算：
3/60*3/60表明在b在0~3分鐘來此時a只能在0~3分鐘來，
2/60表明b在3~5分鐘來此時a可以在0~13分鐘來肯定相遇，
5/60表明b在5~10分鐘來此時a可以在5~13分鐘來都沒有問題。