統計假設檢驗可分為引數假設檢驗和非引數假設檢驗兩大部分。

當總體分佈形式已知，檢驗的目的是對總體的引數及其性質作出判斷，則稱這種檢驗為引數假設檢驗。

若總體分佈形式未知，需對總體分佈函式形式或總體之間的關係進行推斷，則稱為非引數假設檢驗。

顯著性檢驗：先提出假設，然後作出否定或者不否定的判斷，稱為顯著性檢驗。

一、檢驗法則

有兩個對立的假設，其中\(H_0\)稱為原假設（零假設）;\(H_1\)稱為備擇假設（對立假設）。

要檢驗總體均值\(\mu\)，實際上可轉化為檢驗樣本均值\(\overline{X}\)，因為\(\overline{X}\)的觀察值\(\overline{x}\)

又考慮到當\(H_0\)成立時，統計量 $\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} $ ~ $ N(0,1)$，這樣衡量 \(\mid \overline{x} - \mu_0 \mid\) 的大小就可等價地歸結為衡量 $\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} $ 的大小，由此我們可選定一正數\(k\)

由於\(\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} ​\) ~ $ N(0,1)​$，根據標準正態分佈分位點定義可得：
\[P \lbrace \frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} \geq k \mid H_0為真 \rbrace = P \lbrace \frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} \geq u_{1-\frac{\alpha}{2}} \mid H_0為真 \rbrace = \alpha​\]

這樣，我們就得到如下檢驗法則：

若\(\frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} \geq u_{1-\frac{\alpha}{2}}\)，則拒絕\(H_0\)；

若\(\frac{\mid \overline{x} - \mu_0 \mid}{\sigma / \sqrt{n}} < u_{1-\frac{\alpha}{2}}\)，則接受\(H_0\)。

於是，$\frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}} $就成了檢驗統計量。

當然，這只是討論了正態總體引數的假設檢驗問題，對於其他假設檢驗，雖然檢驗統計量不同，但其檢驗法則、基本思路一樣。

二、兩類錯誤

（一）第I類錯誤

當\(H_0\)為真時，我們卻作出了拒絕\(H_0\)的判斷，這個時候我們就犯了第I類錯誤，又稱為“棄真”。即在原假設成立的情況下拒絕了原假設，從而把正確的內容當作錯誤的內容拋棄了。

犯第I類錯誤的概率為：\(P \lbrace 拒絕H_0 \mid H_0為真 \rbrace = \alpha\)

這裡，\(\alpha\)為顯著性水平。

（二）第II類錯誤

當\(H_0\)不成立時，卻接受\(H_0\)了，我們稱這類錯誤為第II類錯誤，又稱為“取偽”。

犯第II類錯誤的概率為：\(P \lbrace 接受H_0 \mid H_0為假 \rbrace = \beta\)

現實中\(\alpha\)、\(beta\)的值不可能同時小，也就是說，在樣本容量給定的情況下，如果減少犯第I類錯誤的概率，就可能增加犯第II類錯誤的概率。由於第I類錯誤相對於第II類錯誤導致的後果更為嚴重，因此現實中的做法通常是對犯第I類錯誤的概率加以控制，然後再適當考慮犯第II類錯誤的概率。

我們把這種只對犯第I類錯誤的概率加以控制，而不考慮犯第II類錯誤的檢驗問題，稱為顯著性檢驗問題。

三、基本方法

引數假設檢驗通常採用\(\mu\)檢驗法、\(t\)檢驗法、\(F\)檢驗法、\(\chi^2\)檢驗法等；

非引數假設檢驗通常採用皮爾遜擬合檢驗、魏氏檢驗、麥氏檢驗法。

（一）引數假設檢驗法

引數假設檢驗法具體包括正態總體引數檢驗和非正態總體引數檢驗。

1、正態總體引數檢驗

對於正態總體，其引數無非是兩個：\(\mu\)和\(\sigma^2\)。如果加上兩個正態總體的引數一塊比較，也只有四種情形：①關於\(\mu\)的檢驗；②關於\(\sigma^2\)的檢驗；③關於\(\mu_1-\mu_2\)的檢驗；④關於\(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\)的檢驗。

（1）\(\mu\)檢驗

\(\mu\)檢驗適用於在方差已知的情況下，對期望值\(\mu\)的檢驗（包括單總體和多總體）。

a.在單個正態總體情況下，適用檢驗統計量：

\(\mu = \frac{\mid \overline{x}-\mu_0 \mid}{\sigma /\sqrt{n}}\)~\(N(0,1)\)

b.在兩個正態總體情況下，設\(x_1,x_2,\ldots,x_{n_1}\),為出自\(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)的樣本，\(y_1,y_2,\ldots,y_{n_2}\)為出自\(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)的樣本，\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\)已知，且樣本之間相互獨立。則適用統計量為：

\(\mu = \frac{\overline{x} - \overline{y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\) ~ \(N(0,1)\)

另外，對總體百分數的檢驗一般也採用檢驗法進行，其適用統計量為：

\[\mu = \frac{p_x-p_{\mu}}{\sqrt{\frac{p_{\mu}(1-p_{\mu})}{n}}}\]

其中，\(p_x\)為樣本百分數，\(p_{\mu}\)為總體百分數。

（2）\(t\)檢驗

\(t\)檢驗適用於當方差未知時對期望值\(\mu\)的檢驗。總體可以是單總體，也可以是雙總體。但如果是雙總體，它們之間的樣本必須是獨立的。

a.對於單總體，適用檢驗統計量為：
\(t= \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)~\(t(n-1)\)
b.對於雙總體，可分為兩種情況進行討論。

第一種情況是，\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\)未知，但\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\)。此時可選擇檢驗統計量：
\(t= \frac{\overline{x} -\overline{y}}{s_{\omega} \cdot \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\)~\(t(n_1+n_2-2)\)

第二種情況是，\(\sigma_1^2,\sigma_2^2\)未知，但\(n_1=n_2=n\)。此時可考慮採用配對檢驗法，具體方法如下：

令：\(d_i=x_i-y_i(i=1,2,\ldots,n)\)，並假定\(d_1,d_2,\ldots,d_n\)分別是來自正態總體\(N(\mu_d,\sigma^2)\)的樣本。\(\mu_d,\sigma^2\)均未知，\(\overline{d}\)與\(s^2\)分別是\(d_1,d_2,\ldots,d_n\)的樣本均值和樣本方差。若進行雙邊檢驗，可令\(H_0:\mu_d=0,H_1:\mu_d \neq 0\)。

此時可選擇\(t= \frac{\overline{d}-0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)~\(t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)作為檢驗統計量，其拒絕域為：
\[c_1= \lbrace t \mid \mid t \mid \geq t_{1-\alpha}(n-1) \rbrace\]

（3）\(\chi^2\)檢驗

\(\chi^2\)檢驗主要用於對方差\(\sigma^2\)的檢驗，且適用於單引數情形。

a.\(\mu\)未知

設\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)為\(N(\mu,\sigma^2)\)的一個樣本，考慮假設：
①\(H_0:\sigma^2 = \sigma_0^2, H_1:\sigma^2 \neq \sigma_0^2\)
②\(H_0:\sigma^2 \leq \sigma_0^2, H_1:\sigma^2 > sigma_0^2\)
適用檢驗統計量為：
\(\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\)~\(\chi^2(n-1)\)

b.\(\mu\)已知

適用於檢驗統計量為：

\(\chi^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_0)^2}{\sigma_0^2}\)~\(\chi^2(n)\)

(4)\(F\)檢驗

\(F\)檢驗也是用於對方差的檢驗，不同的是，\(F\)檢驗往往用於兩引數情形。

設\(x_1,x_2,\ldots,x_{n_1}\)和\(y_1,y_2,\ldots,y_{n_2}\)分別為出自\(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)和\(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)的樣本，且樣本之間獨立。考慮假設：
①\(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2, H_1:\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\)
②\(H_0:\sigma_1^2 \leq \sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2\)

適用檢驗統計量為：
\(F=\frac{s_1^2}{s_2^2}\)~\(F(n_1-1,n_2-1)\)

2、非正態總體引數檢驗

非正態總體的抽樣分佈不易求出，求檢驗統計量及其分佈就很困難了，因此除一些特殊例子外，非正態總體引數的假設檢驗常採用大樣本方法。大樣本一般要求\(n \geq 30\)，最好\(n \geq 50\)。

設\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)是總體\(X\)的樣本，\(X\)~\(N(\mu,\sigma^2 )\)，\(n\)足夠大。要檢驗的假設有：

（1）\(H_0:\mu=\mu_0, H_1:\mu \neq \mu_0\)

（2）\(H_0:\mu \geq \mu_0, H_1:\mu < \mu_0\)

（3）\(H_0:\mu \leq \mu_0, H_1:\mu > \mu_0\)

由於\(X\)不是正態分佈，故求出其檢驗統計量及其分佈比較困難，但當\(n\)足夠大且\(H_0\)成立時，根據中心極限定理，有：
\(\mu = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)~\(N(0,1)\)

在具體選擇檢驗統計量時，可分兩種情況討論：

（1）當\(\sigma^2\)已知時，可選擇檢驗統計量：

\(\mu = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)~\(N(0,1)\)

（2）當\(\sigma^2\)未知時，可選擇檢驗統計量：

\(\mu = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)~\(N(0,1)\)

（二）非引數檢驗法

1、皮爾遜\(\chi^2\)擬合檢驗法

2、魏氏（Wilcoxon）檢驗

3、麥氏（McNehmar）檢驗

參考文獻：
[1] 《統計學》第二版. 2010. 遊士兵