原碼, 反碼和補碼
本篇文章講解了計算機的原碼, 反碼和補碼. 並且進行了深入探求了為何要使用反碼和補碼, 以及更進一步的論證了為何可以用反碼, 補碼的加法計算原碼的減法. 論證部分如有不對的地方請各位牛人幫忙指正! 希望本文對大家學習計算機基礎有所幫助!
一、機器數和真值
在學習原碼, 反碼和補碼之前, 需要先了解機器數和真值的概念.
1、機器數
一個數在計算機中的二進位制表示形式, 叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用一個數的最高位存放符號, 正數為0, 負數為1.
比如，十進位制中的數 +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進位制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
那麼，這裡的 00000011 和 10000011 就是機器數。
2、真值
因為第一位是符號位，所以機器數的形式值就不等於真正的數值。例如上面的有符號數 10000011，其最高位1代表負，其真正數值是 -3 而不是形式值131（10000011轉換成十進位制等於131）。所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二、 原碼, 反碼, 補碼的基礎概念和計算方法
在探求為何機器要使用補碼之前, 讓我們先了解原碼, 反碼和補碼的概念.對於一個數, 計算機要使用一定的編碼方式進行儲存. 原碼, 反碼, 補碼是機器儲存一個具體數字的編碼方式.
1. 原碼
原碼就是符號位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號, 其餘位表示值. 比如如果是8位二進位制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符號位. 因為第一位是符號位, 所以8位二進位制數的取值範圍就是:
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式.
2. 反碼
反碼的表示方法是:
正數的反碼是其本身
負數的反碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變，其餘各個位取反.
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可見如果一個反碼錶示的是負數, 人腦無法直觀的看出來它的數值. 通常要將其轉換成原碼再計算.
3. 補碼
補碼的表示方法是:
正數的補碼就是其本身
負數的補碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變, 其餘各位取反, 最後+1. (即在反碼的基礎上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補
對於負數, 補碼錶示方式也是人腦無法直觀看出其數值的. 通常也需要轉換成原碼在計算其數值.
三、為何要使用原碼, 反碼和補碼
在開始深入學習前, 我的學習建議是先"死記硬背"上面的原碼, 反碼和補碼的表示方式以及計算方法.
現在我們知道了計算機可以有三種編碼方式表示一個數. 對於正數因為三種編碼方式的結果都相同:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補
所以不需要過多解釋. 但是對於負數:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補
可見原碼, 反碼和補碼是完全不同的. 既然原碼才是被人腦直接識別並用於計算表示方式, 為何還會有反碼和補碼呢?
首先, 因為人腦可以知道第一位是符號位, 在計算的時候我們會根據符號位, 選擇對真值區域的加減. (真值的概念在本文最開頭). 但是對於計算機, 加減乘除已經是最基礎的運算, 要設計的儘量簡單. 計算機辨別"符號位"顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分複雜!
於是人們想出了將符號位也參與運算的方法.
我們知道, 根據運演算法則減去一個正數等於加上一個負數, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機器可以只有加法而沒有減法, 這樣計算機運算的設計就更簡單了.
於是人們開始探索 將符號位參與運算, 並且只保留加法的方法. 首先來看原碼:
計算十進位制的表示式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原碼錶示, 讓符號位也參與計算, 顯然對於減法來說, 結果是不正確的.這也就是為何計算機內部不使用原碼錶示一個數.
為了解決原碼做減法的問題, 出現了反碼:
計算十進位制的表示式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
發現用反碼計算減法, 結果的真值部分是正確的. 而唯一的問題其實就出現在"0"這個特殊的數值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號是沒有任何意義的. 而且會有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個編碼表示0.
於是補碼的出現, 解決了0的符號以及兩個編碼的問題:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]補 + [1111 1111]補 = [0000 0000]補=[0000 0000]原
這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]補 + [1000 0001]補 = [1000 0000]補
-1-127的結果應該是-128, 在用補碼運算的結果中, [1000 0000]補 就是-128. 但是注意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128, 所以-128並沒有原碼和反碼錶示.(對-128的補碼錶示[1000 0000]補算出來的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)
使用補碼, 不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還能夠多表示一個最低數. 這就是為什麼8位二進位制, 使用原碼或反碼錶示的範圍為[-127, +127], 而使用補碼錶示的範圍為[-128, 127].
因為機器使用補碼, 所以對於程式設計中常用到的32位int型別, 可以表示範圍是: [-231, 231-1] 因為第一位表示的是符號位.而使用補碼錶示時又可以多儲存一個最小值.
四 、原碼, 反碼, 補碼 再深入
計算機巧妙地把符號位參與運算, 並且將減法變成了加法, 背後蘊含了怎樣的數學原理呢?
將鐘錶想象成是一個1位的12進位制數. 如果當前時間是6點, 我希望將時間設定成4點, 需要怎麼做呢?我們可以:
- 往回撥2個小時: 6 - 2 = 4
- 往前撥10個小時: (6 + 10) mod 12 = 4
- 往前撥10+12=22個小時: (6+22) mod 12 =4
2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12後的餘數是4. 所以鐘錶往回撥(減法)的結果可以用往前撥(加法)替代!
現在的焦點就落在瞭如何用一個正數, 來替代一個負數. 上面的例子我們能感覺出來一些端倪, 發現一些規律. 但是數學是嚴謹的. 不能靠感覺.
首先介紹一個數學中相關的概念: 同餘
同餘的概念
兩個整數a，b，若它們除以整數m所得的餘數相等，則稱a，b對於模m同餘
記作 a ≡ b (mod m)
讀作 a 與 b 關於模 m 同餘。
舉例說明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28關於模 12 同餘.
負數取模
正數進行mod運算是很簡單的. 但是負數呢?
下面是關於mod運算的數學定義:
clip_image001
上面是截圖, "取下界"符號找不到如何輸入(word中貼上過來後亂碼). 下面是使用"L"和"J"替換上圖的"取下界"符號:
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y等於 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界.
以 -3 mod 2 舉例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
開始證明
再回到時鐘的問題上:
回撥2小時 = 前撥10小時
回撥4小時 = 前撥8小時
回撥5小時= 前撥7小時
注意, 這裡發現的規律!
結合上面學到的同餘的概念.實際上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2與10是同餘的.
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4與8是同餘的.
距離成功越來越近了. 要實現用正數替代負數, 只需要運用同餘數的兩個定理:
反身性:
a ≡ a (mod m)
這個定理是很顯而易見的.
線性運算定理:
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那麼:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看這個定理的證明, 請看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以:
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
現在我們為一個負數, 找到了它的正數同餘數. 但是並不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即計算結果的餘數相等.
接下來回到二進位制的問題上, 看一下: 2-1=1的問題.
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反
先到這一步, -1的反碼錶示是1111 1110. 如果這裡將[1111 1110]認為是原碼, 則[1111 1110]原 = -126, 這裡將符號位除去, 即認為是126.
發現有如下規律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 與 2+126的餘數結果是相同的! 而這個餘數, 正式我們的期望的計算結果: 2-1=1
所以說一個數的反碼, 實際上是這個數對於一個膜的同餘數. 而這個膜並不是我們的二進位制, 而是所能表示的最大值! 這就和鐘錶一樣, 轉了一圈後總能找到在可表示範圍內的一個正確的數值!
而2+126很顯然相當於鐘錶轉過了一輪, 而因為符號位是參與計算的, 正好和溢位的最高位形成正確的運算結果.
既然反碼可以將減法變成加法, 那麼現在計算機使用的補碼呢? 為什麼在反碼的基礎上加1, 還能得到正確的結果?
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]補 + [1111 1111]補
如果把[1111 1111]當成原碼, 去除符號位, 則:
[0111 1111]原 = 127
其實, 在反碼的基礎上+1, 只是相當於增加了膜的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此時, 錶盤相當於每128個刻度轉一輪. 所以用補碼錶示的運算結果最小值和最大值應該是[-128, 128].
但是由於0的特殊情況, 沒有辦法表示128, 所以補碼的取值範圍是[-128, 127