容斥

錯排問題

\(n\)個人要站隊，每個人有編號，第\(i\)個人不能站在第\(i\)個位置，求方案數。

\(n \leqslant 1e5\)

設\(g[i]\)表示至少有\(i\)個人站對了的方案數，剩下的人亂站，那麼很顯然可以得到
\[ g[i]=(n-i)! \]
設\(f[i]\)表示恰好有\(i\)個人站對了的方案數，然後根據容斥亂猜以及理(bu)性(xiang)分(zheng)析(ming)，可以得到：
\[ f[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}g[i] \]
然後分析下為什麼是對的。

考慮任意一種有\(m\)個人站對了的方案，可以發現，在算至少0個到至少\(m-1\)

對於上面的式子，有一個特例，即：
\[ \sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}=[n=0] \]
即當n不為0時，上面的式子才為0 。

現在考慮下為什麼是這樣的。

首先有一個很顯然的式子：
\[ g[n]=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f[i] \]
但是我們現在只知道算\(g\)，而不會算\(f\)。

先說句廢話：
\[ f[n]=\sum_{i=0}^n[n-i=0]\binom{n}{i}f[i] \]
然後可以發現這個式子中間的部分和上面的式子有點像，帶進去試試。
\[ f[n]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j\binom{n-i}{j}\binom{n}{i}f[i] \]
然後魔術開始：

對於\(\binom{n-i}{j}\binom{n}{i}\)，其實就是從\(n\)個裡選出\(i\)

所以原式就會等於
\[ f[n]=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j\binom{n-j}{i}\binom{n}{j}f[i] \]
調換下列舉順序
\[ f[n]=\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}\sum_{i=0}^{n-j}\binom{n-j}{i}f[i] \]
注意下後面那個玩意，發現這個和\(g\)有點像
\[ \begin{align} f[n]&=\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}g[n-j]\\ &=\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{n-j}g[n-j]\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}g[n] \end{align} \]
這就是一開始的那個式子。

總結

對於一個問題，如果有N個約束條件，求滿足0個條件的方案數，

設\(f[i]\)為恰好有i個約束條件滿足，\(g[i]\)為至少有i個條件被滿足，

顯然有
\[ g[n]=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f[i] \]
然後可以得到
\[ f[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}g[i] \]
這就是容斥原理，也叫二項式反演。