[學習筆記]費用流
阿新 • • 發佈：2018-11-27
一些內容在另一篇部落格
有的時候要保證最大的情況下，費用盡可能優。
就要用費用流了。
目前所涉及的費用流，都是在最大流的前提下
所以，當題目可以轉化成，在保證。。。的情況下，最優化。。。
也許就可以嘗試費用流了。
（同樣意味著選擇，
最小割沒有什麼最大流的前提，可以沒有什麼限制地，割掉一些邊即可。
但是，每條邊必須割掉，不能“割一部分”，對於一些可以剩下的模型就捉襟見肘了。
）
用EK。因為dinic不能保證流出來的是最優代價的。
至於為什麼每次貪心選擇最優的路徑，最後就是最優的，可能的原因是，因為有反邊，所以自帶反悔自動機功能。貪心沒有問題。
可以延伸出來一個結論：
最短路費用流，當前費用是所有能夠到達當前總流量的所有費用中最優的一個。
（偽證：
因為貪心成立。還沒有聽說過哪個貪心不是區域性最優解，卻是全域性最優解的2333
）
例題：
方格取數、晨跑。
拆點費用流即可。
修車，美食節
拆點費用流。
邊權設計：
反過來考慮每個人站在某個位置，對後面的人等待時間產生的影響。
第j個階段，意味著後面還有j個。這樣，貢獻就只和自己有關係了。
必要的時候動態加邊。
倍數關係，這個倍數關係還是質數。
那麼，這兩個數的質因子一定相差一，差的那個質因子就是這個質數。
所以，把數按照質因子個數奇偶性分成左右兩類
左部點右部點自己之間不會有配對。
左部右部點之間，如果成倍數關係，並且一個是另一個質因子個數+1，那麼連邊流inf，費c1*c2。
左部點和S，連流b費0
右部點和T，連流b費0
這樣，每個流就是一個配對。
至於
“在獲得的價值總和不小於 0 的前提下，求最多進行多少次配對。”
費用流的特點是，
“可以保證當前的費用永遠是當前流量下最優的”
所以，如果當前總費用<0
那麼就可以停止了。因為之後，流量更大的話，費用也不可能更高。
#include<bits/stdc++.h> #define數字配對reg register int #define il inline #define numb (ch^'0') using namespace std; typedef long long ll; il void rd(int &x){ char ch;x=0;bool fl=false; while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true); for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb); (fl==true)&&(x=-x); } namespace Miracle{ const int N=200*2+5; const int M=200*200+200+200; const int U=31622+20; const int inf=0x3f3f3f3f; int n,m,s,t; struct node{ int nxt,to; int w; ll v; }e[2*M]; int hd[N],cnt=1; void add(int x,int y,int z,ll c){ e[++cnt].nxt=hd[x]; e[cnt].to=y; e[cnt].w=z; e[cnt].v=c; hd[x]=cnt; } struct po{ int a,b,c; int cnt; bool friend operator <(po a,po b){ return a.a<b.a; } }a[N]; int pri[M],tot; bool vis[U]; void sieve(){ vis[1]=1; for(reg i=2;i<=U-10;++i){ if(!vis[i]){ pri[++tot]=i; } for(reg j=1;j<=tot;++j){ if((ll)pri[j]*i>U-10) break; vis[pri[j]*i]=1; if(i%pri[j]==0) break; } } } int che(int x){ int ret=0; for(reg i=1;i<=tot&&pri[i]*pri[i]<=x;++i){ if(x%pri[i]==0){ while(x%pri[i]==0) x/=pri[i],++ret; } } if(x!=1) ++ret; return ret; } ll d[N]; int pre[N]; int incf[N]; queue<int>q; ll now,flow; bool in[N]; bool spfa(){ memset(d,0xcf,sizeof d); while(!q.empty()) q.pop(); d[s]=0; q.push(s); pre[s]=0;incf[s]=inf; while(!q.empty()){ int x=q.front();q.pop(); in[x]=0; // cout<<"x "<<x<<endl; for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){ int y=e[i].to; // cout<<" yy "<<y<<endl; if(e[i].w){ if(d[y]<d[x]+e[i].v){ d[y]=d[x]+e[i].v; pre[y]=i; incf[y]=min(incf[x],e[i].w); if(!in[y]) { in[y]=1; q.push(y); } } } } } // cout<<" spfa "<<d[t]<<endl; if(d[t]==-3472328296227680305ll) return false; return true; } bool upda(){ //cout<<" d[t] "<<d[t]<<endl; if(now+d[t]*incf[t]<0){ flow+=now/abs(d[t]); return false; } int x=t; while(pre[x]){ //cout<<"upda "<<x<<endl; e[pre[x]].w-=incf[t]; e[pre[x]^1].w+=incf[t]; x=e[pre[x]^1].to; } flow+=incf[t]; now+=d[t]*incf[t]; //cout<<" now "<<now<<" "<<flow<<endl; return true; } int le[N],ri[N]; int lc,rc; int main(){ scanf("%d",&n); for(reg i=1;i<=n;++i){ rd(a[i].a); }for(reg i=1;i<=n;++i) rd(a[i].b); for(reg i=1;i<=n;++i) rd(a[i].c); sieve(); for(reg i=1;i<=n;++i){ a[i].cnt=che(a[i].a); if(a[i].cnt%2==0){ le[++lc]=i; }else ri[++rc]=i; } for(reg i=1;i<=lc;++i){ int id=le[i]; for(reg j=1;j<=rc;++j){ int to=ri[j]; if(abs(a[id].cnt-a[to].cnt)==1){ if(a[id].a%a[to].a==0||a[to].a%a[id].a==0){ add(id,to,inf,(ll)a[id].c*a[to].c); add(to,id,0,-(ll)a[id].c*a[to].c); } } } } s=n+1,t=n+2; for(reg i=1;i<=lc;++i){ int id=le[i]; add(s,id,a[id].b,0); add(id,s,0,0); } for(reg i=1;i<=rc;++i){ int to=ri[i]; add(to,t,a[to].b,0); add(t,to,0,0); } // cout<<" cnt "<<cnt<<endl; while(spfa()){ // cout<<" xx "<<endl; bool fl=upda(); if(!fl) break; } printf("%lld",flow); return 0; } } int main(){ Miracle::main(); return 0; } /* Author: *Miracle* Date: 2018/11/27 15:59:23 */
看似費用流。
其實發現，Bob一定選擇最大的流量*p
所以，Alice要使得所選擇的最大流的最大流量最小。
二分判斷即可。
注意，邊最大流量不一定是整數。因為可以均攤成小數變得更低。
eps 1e-5即可。
#include<bits/stdc++.h> #define reg register int #define il inline #define numb (ch^'0') using namespace std; typedef long long ll; il void rd(int &x){ char ch;x=0;bool fl=false; while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true); for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb); (fl==true)&&(x=-x); } namespace Miracle{ const int N=103; const int M=1000+3; const int inf=1023333333.00; const double eps=1e-8; int n,m,p,s,t; struct bian{ int x,y,c; }b[M]; struct node{ int nxt,to; double w; }e[2*M]; int hd[N],cnt=1; void add(int x,int y,double z){ //cout<<" x y z "<<x<<" "<<y<<" "<<z<<endl; e[++cnt].nxt=hd[x]; e[cnt].to=y; e[cnt].w=z; hd[x]=cnt; } int d[N]; double dfs(int x,double flow){ if(x==t) return flow; double res=flow; for(reg i=hd[x];i&&fabs(res)>=eps;i=e[i].nxt){ int y=e[i].to; if(e[i].w&&d[y]==d[x]+1){ double k=dfs(y,min(res,e[i].w)); if(fabs(k)<eps) d[y]=0; e[i].w-=k; e[i^1].w+=k; res-=k; } } return flow-res; } int q[2*N],l,r; double ans; bool bfs(){ memset(d,0,sizeof d); d[s]=1; l=1,r=0; q[++r]=s; while(l<=r){ int x=q[l++]; //cout<<" xxx "<<x<<endl; for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){ int y=e[i].to; //cout<<" yy "<<y<<" "<<e[i].w<<endl; if(fabs(e[i].w)>=eps&&!d[y]){ d[y]=d[x]+1; q[++r]=y; if(y==t) return true; } } } return false; } double dinic(){ double ret=0; double flow=0; while(bfs()){ while((flow=dfs(s,inf))>=eps) ret+=flow; } return ret; } int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); int x,y,c; s=1,t=n; double R=0.00; for(reg i=1;i<=m;++i){ rd(x);rd(y);rd(c); R=max(R,(double)c); b[i].x=x,b[i].y=y;b[i].c=c; add(x,y,(double)c); add(y,x,0); } int ans=dinic(); printf("%d\n",ans); double L=0.00; R+=2.33; double op=0.00; while(R-L>=eps){ double mid=(L+R)/2; memset(hd,0,sizeof hd);cnt=1; for(reg i=1;i<=m;++i){ add(b[i].x,b[i].y,min((double)b[i].c,mid)); add(b[i].y,b[i].x,0); } double now=dinic(); if(now<ans){ L=mid; }else{ R=mid;op=mid; } } printf("%lf",op*p); return 0; } } int main(){ Miracle::main(); return 0; } /* Author: *Miracle* Date: 2018/11/27 17:09:49 */費用流