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前言

　　上一章我們簡單介紹了IEEE浮點標準，本次我們主要講解一下浮點運算舍入的問題，以及簡單的介紹浮點數的運算。

　　之前我們已經提到過，有很多小數是二進位制浮點數無法準確表示的，因此就難免會遇到舍入的問題。這一點其實在我們平時的計算當中會經常出現，就比如之前我們提到過的0.3，它就是無法用浮點小數準確表示的。

　　為此LZ專門寫了一個小程式，使用Java語言打印出了0.3的二進位制表示，是這樣的一個數字，0 01111101 00110011001100110011010。我們來簡單算一下，這個數值大約是多少。它的階碼在偏置之後的值為-2，它的尾數位在加1之後為1 + 1/8 + 1/16 + 1/128 + 1/256 = 1.19921875。後面還有有效位，不過我們只大概計算一下，就不算那麼精確了，最終算出來的值為0.2998046875。（LZ用計算器算的，0.0）

　　可以看出，這個值離0.3已經非常接近了，而且我們還省略了一小部分有效小數位，但是不管怎麼說，二進位制無法像十進位制小數一樣，準確的表示0.3這個數值。因此舍入這一部分是浮點數無法逃脫的內容。

浮點數舍入

　　在我們平時日常使用的十進位制當中，我們一般對一個無理數或者有位數限制的有理數進行舍入時，大部分時候會採取四捨五入的方式，這算是一種比較符合我們期望的舍入方式。

　　不過針對浮點數來說，我們的舍入方式會更豐富一些。一共有四種方式，分別是向偶數舍入、向零舍入、向上舍入以及向下舍入。

　　這四種舍入方式都不難理解，其中向偶數舍入就是向最靠近的偶數舍入，比如將1.5舍入為2，將0.1舍入為0。而向零舍入則是向靠近零的值舍入，比如將1.5舍入為1，將0.1舍入為0。對於向上舍入來說，則是往大了（也就是向正無窮大）舍入的意思，比如將1.5舍入為2，將-1.5舍入為-1。而向下舍入則與向上舍入相反，是向較小的值（也就是向負無窮大）舍入的意思。

　　這裡需要提一下的是，除了向偶數舍入以外，其它三種方式都會有明確的邊界。這裡的含義是指這三種方式舍入後的值x'與舍入之前的值x會有一個明確的大小關係，比如對於向上舍入來說，則一定有x <= x'。對於向零舍入來說，則一定有|x| >= |x'|。

　　對於向偶數舍入來講，它最大的作用是在統計時使用。向偶數舍入可以讓我們在統計時，將舍入產生的誤差平均，從而儘可能的抵消。而其它三種方式在這方面都是有一定缺陷的，向上和向下舍入很明顯，會造成值的偏大或偏小。而對於向零舍入來講，如果全是正數的時候則會造成結果偏小，全是負數的時候則會造成結果偏大。

　　通常情況下我們採取的舍入規則是在原來的值是舍入值的中間值時，採取向偶數舍入，在二進位制中，偶數我們認為是末尾為0的數。而倘若不是這種情況的話，則一般會有選擇性的使用向上和向下舍入，但總是會向最接近的值舍入。其實這正是IEEE採取的預設的舍入方式，因為這種舍入方式總是企圖向最近的值的舍入。

　　比如對於10.10011這個值來講，當舍入到個位數時，會採取向上舍入，因此此時的值為11。當舍入到小數點後1位時，會採取向下舍入，因此此時的值為10.1。當舍入到小數點後4位時，由於此時為10.10011舍入值的中間值，因此採用向偶數舍入，此時舍入後的值為10.1010。

Java當中的浮點數舍入

　　之前我們講解了一堆舍入的方式，最終我們給出一個結論，就是IEEE標準預設的舍入方式，是企圖向最近的值舍入（Round to the Nearest Value）。

　　上面我們已經詳細的解釋了IEEE標準中預設的舍入方式（黑色加粗的那部分解釋），但是估計還是會有不少猿友比較迷糊，書中也沒有給出具體的例子，因此這裡LZ以Java語言為例，我們直接寫程式來看一下，看看Java當中的舍入方式是否是按照我們所說的進行的。

　　在各位看這個測試程式之前，LZ需要再給各位再解釋一下中間值的概念。中間值就是指的，比如1.1（二進位制）這個數字，假設要舍入到個位，那麼它就是一箇中間值，因為它處於1（二進位制）和10（二進位制）的中間，在這個時候將會採用向偶數舍入的方式。

　　下面便是LZ寫的測試程式，其中那些具體的浮點數值是使用二進位制小數的演算法計算出來的，各位猿友不必在意，如果你不嫌麻煩，也可以自己手算一下。我們主要看的是最終的舍入情況。

public class Main{
    
    public static void main(String[] args){
        System.out.println("舍入前:         10.10011111111111111111101");
        System.out.print("舍入後:");
        printFloatBinaryString(2.62499964237213134765625f);
        System.out.println();
        System.out.println("舍入前:         10.10011111111111111111111");
        System.out.print("舍入後:");
        printFloatBinaryString(2.62499988079071044921875f);
        System.out.println();
        System.out.println("舍入前:         10.10011111111111111111101011");
        System.out.print("舍入後:");
        printFloatBinaryString(2.62499968707561492919921875f);
        System.out.println();
        System.out.println("舍入前:         10.10011111111111111111100011");
        System.out.print("舍入後:");
        printFloatBinaryString(2.62499956786632537841796875f);
        System.out.println();
        System.out.println("舍入前:        -10.10011111111111111111101");
        System.out.print("舍入後:");
        printFloatBinaryString(-2.62499964237213134765625f);
        System.out.println();
        System.out.println("舍入前:        -10.10011111111111111111111");
        System.out.print("舍入後:");
        printFloatBinaryString(-2.62499988079071044921875f);
        System.out.println();
        System.out.println("舍入前:        -10.10011111111111111111101011");
        System.out.print("舍入後:");
        printFloatBinaryString(-2.62499968707561492919921875f);
        System.out.println();
        System.out.println("舍入前:        -10.10011111111111111111100011");
        System.out.print("舍入後:");
        printFloatBinaryString(-2.62499956786632537841796875f);
        System.out.println();
    }
    
    public static void printFloatBinaryString(Float f){
        char[] binaryChars = getBinaryChars(f);
        for (int i = 0; i < binaryChars.length; i++) {
            System.out.print(binaryChars[i]);
            if (i == 0 || i == 8) {
                System.out.print(" ");
            }
        }
        System.out.println();
    }
    
    public static char[] getBinaryChars(Float f){
        char[] result = new char[32];
        char[] binaryChars = Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(f)).toCharArray();
        if (binaryChars.length < result.length) {
            System.arraycopy(binaryChars, 0, result, result.length - binaryChars.length, binaryChars.length);
            for (int i = 0; i < result.length - binaryChars.length; i++) {
                result[i] = '0';
            }
        }else {
            result = binaryChars;
        }
        return result;
    }

}

　　上面是測試程式，其實程式中看不出什麼，就是一堆輸出語句。如果各位猿友有興趣，也可以簡單看一下程式的實現。不過我們主要還是看結果，下面是程式結果。

　　上面一共有8次舍入，前4次是正數，後4次是負數。可以看出對於正負數來講，舍入後的位表示是一樣的，只是最高位的符號位不同而已，因此這裡LZ就不再分析下面4個負數的舍入方式了，我們主要來看前4次舍入。

　　第1次和第2次對於末尾01和11的舍入，由於是中間值，因此全部採取的向偶數舍入的方式，保證最低位為0。第3次由於比中間值大，而數值又是正數，因此採用向上舍入的方式。第4次則比中間值小，數值也同樣是正數，因此採用向下舍入的方式。

　　由此可以看出，Java正是採用的我們所描述的方式進行舍入操作的，也就是總是企圖朝最近的數值舍入。相對於其它語言，由於LZ主修Java，例子篇幅也比較長，因此這裡就不寫其他語言的例子了，有興趣的猿友可以嘗試寫一下C/C++或者C#的例子來看一下，看是否是採用的同樣的舍入方式。

浮點數運算

　　在IEEE標準中，制定了關於浮點數的運算規則，就是我們將把兩個浮點數運算後的精確結果的舍入值，作為我們最終的運算結果。正是因為有了這一個特殊點，就會造成浮點數當中，很多運算不滿足我們平時熟知的一些運算特性。

　　比如加法的結合律，也就是a + b + c = a + (b + c)，這是很普通的加法運算的特性，但是浮點數是不滿這一特性的，比如說下面這一段小程式。

    public static void main(String[] args){
        System.out.println(1f + 10000000000f - 10000000000f);
        System.out.println(1f + (10000000000f - 10000000000f));
    }

　　這一段程式會依次輸出0.0和1.0，正是因為舍入而造成的這一誤差。在第一個輸出語句中，計算1f+10000000000f時，會將1這個有效數值舍入掉，而導致最終結果為0.0。而在第二個輸出語句中10000000000f-10000000000f將先得到結果0.0，因此最終的結果為1.0。

　　相應的，浮點數運算對乘法也不滿足結合律，也就是 a * b * c != a * (b * c)，同時也不滿足分配律，即 a * (b + c) != a * b + a * c。

　　浮點數失去了很多運算方面的特性，因此也導致很多優化手段無法進行，比如我們試圖優化下面這樣一段程式。

        /*   優化前       */
        float x = a + b + c;
        float y = b + c + d;
        /*   優化後       */
        float t = b + c;
        float x = a + t;
        float y = t + d;

　　對於優化前的程式碼來講，進行了4次浮點運算，而優化後則是3次。然而這種優化是編譯器無法進行的，因為可能會引入誤差，比如就像前面的小例子中的結果0和1一樣。編譯器在此時一般是不敢進行優化的，試想一下，如果是銀行系統的匯款或者收款等功能，如果編譯器進行優化的話，很可能一不小心就把別人的錢給優化掉了。

文章小結

　　2.X系列主要講解了二進位制的位表示方式、無符號以及補碼編碼以及二進位制整數和浮點數的表示方式和運算。這一章是2.X的最後一章，下一章我們將進入組合語言3.X的世界，那裡我們可以看到程式是如何使用暫存器和儲存器的、如何表示C語言中的指標、組合語言如何實現程式的流程控制等等一系列內容。相對來講，3.X的內容會比2.X的內容有意思很多，因此希望各位猿友不要錯過。

版權宣告

作者：zuoxiaolong（左瀟龍）

出處：部落格園左瀟龍的技術部落格--http://www.cnblogs.com/zuoxiaolong

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