在函式內部，可以呼叫其他函式。如果一個函式在內部呼叫自身本身，這個函式就是遞迴函式。

舉個例子，我們來計算階乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函式fact(n)表示，可以看出：

fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

所以，fact(n)可以表示為n x fact(n-1)，只有n=1時需要特殊處理。

於是，fact(n)用遞迴的方式寫出來就是：

def fact(n):
    if n==1: return 1 return n * fact(n - 1) 
 

上面就是一個遞迴函式。可以試試：

>>> fact(1)
1
>>> fact(5) 120 >>> fact(100) 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000 

如果我們計算fact(5)，可以根據函式定義看到計算過程如下：

===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120
 

遞迴函式的優點是定義簡單，邏輯清晰。理論上，所有的遞迴函式都可以寫成迴圈的方式，但迴圈的邏輯不如遞迴清晰。

使用遞迴函式需要注意防止棧溢位。在計算機中，函式呼叫是通過棧（stack）這種資料結構實現的，每當進入一個函式呼叫，棧就會加一層棧幀，每當函式返回，棧就會減一層棧幀。由於棧的大小不是無限的，所以，遞迴呼叫的次數過多，會導致棧溢位。可以試試fact(1000)：

>>> fact(1000)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 4, in fact ... File "<stdin>", line 4, in fact RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison 
 

解決遞迴呼叫棧溢位的方法是通過尾遞迴優化，事實上尾遞迴和迴圈的效果是一樣的，所以，把迴圈看成是一種特殊的尾遞迴函式也是可以的。

尾遞迴是指，在函式返回的時候，呼叫自身本身，並且，return語句不能包含表示式。這樣，編譯器或者直譯器就可以把尾遞迴做優化，使遞迴本身無論呼叫多少次，都只佔用一個棧幀，不會出現棧溢位的情況。

上面的fact(n)函式由於return n * fact(n - 1)引入了乘法表達式，所以就不是尾遞迴了。要改成尾遞迴方式，需要多一點程式碼，主要是要把每一步的乘積傳入到遞迴函式中：

def fact(n):
    return fact_iter(n, 1) def fact_iter(num, product): if num == 1: return product return fact_iter(num - 1, num * product) 

可以看到，return fact_iter(num - 1, num * product)僅返回遞迴函式本身，num - 1和num * product在函式呼叫前就會被計算，不影響函式呼叫。

fact(5)對應的fact_iter(5, 1)的呼叫如下：

===> fact_iter(5, 1)
===> fact_iter(4, 5)
===> fact_iter(3, 20) ===> fact_iter(2, 60) ===> fact_iter(1, 120) ===> 120 

尾遞迴呼叫時，如果做了優化，棧不會增長，因此，無論多少次呼叫也不會導致棧溢位。

遺憾的是，大多數程式語言沒有針對尾遞迴做優化，Python直譯器也沒有做優化，所以，即使把上面的fact(n)函式改成尾遞迴方式，也會導致棧溢位。

小結

使用遞迴函式的優點是邏輯簡單清晰，缺點是過深的呼叫會導致棧溢位。

針對尾遞迴優化的語言可以通過尾遞迴防止棧溢位。尾遞迴事實上和迴圈是等價的，沒有迴圈語句的程式語言只能通過尾遞迴實現迴圈。

Python標準的直譯器沒有針對尾遞迴做優化，任何遞迴函式都存在棧溢位的問題。