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生產線平衡問題的+Leapms解法

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生產線平衡問題 (The Assembly Line Balancing Problem)

生產線又叫做組裝生產線, 是把產品的工藝做串行生產安排的流水生產線。一個產品的組裝需要不同的工序來完成,且工序之間有先後次序要求。

下表是Jackson, J. R. . (1956)給出一個產品工序的裝配次序要求:

工序 執行時長 緊前工序
1 6 --
2 2 1
3 5 1
4 7 1
5 1 1
6 2 2
7 3 3,4,5
8 6 6
9 5 7
10 5 8
11 4 10,9

上表也可以用有向圖表示:

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生產線平衡問題的目的是:把工序劃分成工作站,且滿足工序緊前要求。優化目標有兩種:(1)在生產節拍被指定時使得工作站數量最少;或(2)在工作站數量被限定情況下使得生產節拍最小。

前一種目標被稱為第一類生產線平衡問題,後一種目標被稱為第二類生產線平衡問題。


第2類問題生產線平衡問題的建模

(1)問題

已知工作站共有m=5個,工序共有n=11個,極小化生產節拍。

(2)有向圖的表達

有向圖可以表達為節點的點對集合,例如 e={ 1 2, 1 3, 1 4,...,10 11}

第k條邊的前後兩個頂點一般被寫成 a[k], 和 b[k]。第k條邊被記為 (a[k], b[k])

邊的數目 ne 是 e 中元素數除以2,即:ne=_$(e)/2

(3)決策變量

設 x[i][j] 為0-1變量,表示工序j是否被分配給工作站i。其中i=1,...,m; j=1,...,n。

(4)依賴變量

設變量c為生產線的節拍

(5)目標是極小化生產節拍,即:

  minimize c

(6)約束1: 每個工序被分配給且僅被分配給一個工作站:

sum{i=1,...,m} x[i][j] =1 | j =1,...,n

(7)約束2:節拍大於等於任何一個工作站的執行時長:

c >= sum{j=1,...,n}x[i][j]t[j] | i=1,...,m

(8)約束3:對任何邊k,如果其後節點b[k]被分配到工作站i,則其前節點 a[k] 必須被分配到 j=1,...,i 中的某個節點,即:

x[i][b[k]] <= sum{j=1,...,i}x[j][a[k]] | i=1,...,m;k=1,...,ne

第2類問題生產線平衡問題的+leapms模型

//第二類生產線平衡問題
minimize  c

subject to
    sum{i=1,...,m} x[i][j] =1 | j =1,...,n
    c >= sum{j=1,...,n}x[i][j]t[j] | i=1,...,m
    x[i][b[k]]<=sum{j=1,...,i}x[j][a[k]]|i=1,...,m;k=1,...,ne

where
    m,n,ne are integers
    t[j] is a number | j=1,...,n
    e is a set
    a[k],b[k] is an integer|k=1,...,ne
    c is a variable of number
    x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,m;j=1,...,n

data
    m=5
    n=11
    t={6 2 5 7 1 2 3 6 5 5 4}
    e={
      1 2
      1 3
      1 3
      1 5
      2 6
      3 7
      4 7
      5 7
      6 8
      7 9
      8 10
      9 11
      10 11
    }

data_relation
  ne=_$(e)/2
  a[k]=e[2k-1]|k=1,...,ne
  b[k]=e[2k]|k=1,...,ne

第2類問題生產線平衡問題的模型求解

Welcome to +Leapms ver 1.1(162260) Teaching Version  -- an LP/LMIP modeling and
solving tool.歡迎使用利珀 版本1.1(162260) Teaching Version  -- LP/LMIP 建模和求
解工具.

+Leapms>load
 Current directory is "ROOT".
 .........
        p2.leap
 .........
please input the filename:p2
================================================================
1:  //第二類生產線平衡問題
2:  minimize  c
3:
4:  subject to
5:      sum{i=1,...,m} x[i][j] =1 | j =1,...,n
6:      c >= sum{j=1,...,n}x[i][j]t[j] | i=1,...,m
7:      x[i][b[k]]<=sum{j=1,...,i}x[j][a[k]]|i=1,...,m;k=1,...,ne
8:
9:  where
10:      m,n,ne are integers
11:      t[j] is a number | j=1,...,n
12:      e is a set
13:      a[k],b[k] is an integer|k=1,...,ne
14:      c is a variable of number
15:      x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,m;j=1,...,n
16:
17:  data
18:      m=5
19:      n=11
20:      t={6 2 5 7 1 2 3 6 5 5 4}
21:      e={
22:        1 2
23:        1 3
24:        1 3
25:        1 5
26:        2 6
27:        3 7
28:        4 7
29:        5 7
30:        6 8
31:        7 9
32:        8 10
33:        9 11
34:        10 11
35:      }
36:  data_relation
37:    ne=_$(e)/2
38:    a[k]=e[2k-1]|k=1,...,ne
39:    b[k]=e[2k]|k=1,...,ne
40:
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=56
number of constraints=81
..................................
+Leapms>mip
relexed_solution=9.2; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
 nbnode=230;  memindex=(24,24) zstar=13; GB->zi=10
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整數規劃的最優解.非零變量值和最優目標值如下:
  .........
    c* =10
    x1_1* =1
    x1_5* =1
    x2_2* =1
    x2_6* =1
    x2_8* =1
    x3_3* =1
    x3_10* =1
    x4_4* =1
    x4_7* =1
    x5_9* =1
    x5_11* =1
  .........
    Objective*=10
  .........
+Leapms>

上面的結果顯示, 目標值即最小節拍為10, 分配方案是: 工序1,5分配在工作站1, 工序2,6,8 分配在工作站2, 工序3,10 分配在工作站3, 工序4,7分配在工作站4, 工序9,11分配在工作站5。

第2類生產線平衡問題求解結果圖示

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第1類生產線平衡問題

由求解第2類生產線平衡問題知道,工作站數是5時,最小節拍是10。假設如果將節拍上限增加到10,問是否能夠減小工作站數目。

第1類生產線平衡問題的建模

第1類生產線平衡問題的數學模型見Ritt, M. , & Costa, A. M. . (2015)。

第1類生產線平衡問題的+Leapms模型

//第一類生產線平衡問題
minimize  sum{i=1,...,m}y[i]

subject to
    sum{i=1,...,m} x[i][j] =1 | j =1,...,n
    y[i]c >= sum{j=1,...,n}x[i][j]t[j] | i=1,...,m
    x[i][b[k]]<=sum{j=1,...,i}x[j][a[k]]|i=1,...,m;k=1,...,ne
    y[i]<=y[i-1]|i=2,...,m

where
    m,n,ne are integers
    t[j] is a number | j=1,...,n
    e is a set
    a[k],b[k] is an integer|k=1,...,ne
    c is a number
    x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,m;j=1,...,n
    y[i] is a variable of binary|i=1,...,m

data
    m=6
    n=11
    c=12
    t={6 2 5 7 1 2 3 6 5 5 4}
    e={
      1 2
      1 3
      1 3
      1 5
      2 6
      3 7
      4 7
      5 7
      6 8
      7 9
      8 10
      9 11
      10 11
    }
data_relation
  ne=_$(e)/2
  a[k]=e[2k-1]|k=1,...,ne
  b[k]=e[2k]|k=1,...,ne

第1類生產線平衡問題的模型求解

Welcome to +Leapms ver 1.1(162260) Teaching Version  -- an LP/LMIP modeling and
solving tool.歡迎使用利珀 版本1.1(162260) Teaching Version  -- LP/LMIP 建模和求
解工具.

+Leapms>load
 Current directory is "ROOT".
 .........
        p1.leap
        p2.leap
 .........
please input the filename:p1
1:  //第一類生產線平衡問題
2:  minimize  sum{i=1,...,m}y[i]
3:
4:  subject to
5:      sum{i=1,...,m} x[i][j] =1 | j =1,...,n
6:      y[i]c >= sum{j=1,...,n}x[i][j]t[j] | i=1,...,m
7:      x[i][b[k]]<=sum{j=1,...,i}x[j][a[k]]|i=1,...,m;k=1,...,ne
8:      y[i]<=y[i-1]|i=2,...,m
9:
10:  where
11:      m,n,ne are integers
12:      t[j] is a number | j=1,...,n
13:      e is a set
14:      a[k],b[k] is an integer|k=1,...,ne
15:      c is a number
16:      x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,m;j=1,...,n
17:      y[i] is a variable of binary|i=1,...,m
18:
19:  data
20:      m=6
21:      n=11
22:      c=12
23:      t={6 2 5 7 1 2 3 6 5 5 4}
24:      e={
25:        1 2
26:        1 3
27:        1 3
28:        1 5
29:        2 6
30:        3 7
31:        4 7
32:        5 7
33:        6 8
34:        7 9
35:        8 10
36:        9 11
37:        10 11
38:      }
39:  data_relation
40:    ne=_$(e)/2
41:    a[k]=e[2k-1]|k=1,...,ne
42:    b[k]=e[2k]|k=1,...,ne
43:
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
===========================================
number of variables=72
number of constraints=100
int_obj=0
===========================================

+Leapms>mip
relexed_solution=3.83333; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
 nbnode=117;  memindex=(12,12) zstar=5.22619; GB->zi=6
 nbnode=314;  memindex=(38,38) zstar=5.625; GB->zi=6
 nbnode=587;  memindex=(24,24) zstar=5.01852; GB->zi=5
 nbnode=861;  memindex=(26,26) zstar=4.25; GB->zi=5
 nbnode=1128;  memindex=(22,22) zstar=3.83333; GB->zi=5
 nbnode=1395;  memindex=(38,38) zstar=3.83333; GB->zi=5
 nbnode=1680;  memindex=(40,40) zstar=6; GB->zi=5
 nbnode=1959;  memindex=(46,46) zstar=6; GB->zi=5
 nbnode=2230;  memindex=(30,30) zstar=3.9246; GB->zi=5
 nbnode=2487;  memindex=(26,26) zstar=4.44444; GB->zi=5
 nbnode=2774;  memindex=(36,36) zstar=4.16667; GB->zi=4
 nbnode=2971;  memindex=(20,20) zstar=3.83333; GB->zi=4
 nbnode=3149;  memindex=(26,26) zstar=4.16667; GB->zi=4
 nbnode=3343;  memindex=(36,36) zstar=3.91667; GB->zi=4
 nbnode=3546;  memindex=(20,20) zstar=4.04167; GB->zi=4
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整數規劃的最優解.非零變量值和最優目標值如下:
  .........
    x1_1* =1
    x1_2* =1
    x1_6* =1
    x2_5* =1
    x2_8* =1
    x2_10* =1
    x3_3* =1
    x3_4* =1
    x4_7* =1
    x4_9* =1
    x4_11* =1
    y1* =1
    y2* =1
    y3* =1
    y4* =1
  .........
    Objective*=4
  .........
+Leapms>

結果顯示工作站數可減少到4。分配方式如下面的圖示。

第1類生產線平衡問題求解結果圖示

技術分享圖片


參考文獻

[1] Jackson, J. R. . (1956). A computing procedure for a line balancing problem. Management Science, 2(3), 261-271.

[2] Ritt, M. , & Costa, A. M. . (2015). Improved integer programming models for simple assembly line balancing, and related problems. International Transactions in Operational Research, 19(8), 455-455.

生產線平衡問題的+Leapms解法