快速沃爾什變換（FWT）（學習筆記）

阿新 • • 發佈：2018-12-02

學習了 $FFT$ ，已經解決了形如 $c (k)$

= ∑ i + j = k a

( i ) × b ( j ) c(k)=\sum_{i+j=k}a(i)\times b(j)

c (k) = \sum_{i + j = k} a (i) \times b (j)

的問題，那如果條件不是普通的加法，而是一些特殊的二進位制運算怎麼辦呢？
這時候就有了

FWT

也就是說， $FWT$ 可以用來解決形如 $c(k)=\sum_{i\oplus j=k}a(i)\times b(j)$ 的問題，其中 $\oplus$ 是二進位制運算子

如何做？
把 $FWT(A)$ 看成一個 $n$ 維向量，然後把它按最高位為 $0、1$ 分成 $FWT(A_0)$ 和 $FWT(A_1)$ ，很明顯 $FWT(A)=FWT(A_0),FWT(A_1)$

類似 $FFT$ ， $FWT$ 也可以用兩個多項式按位相乘而得來
定義
$A+B=(A_0+B_0,A_1+B_1,···,A_n+A_n)$
$A-B=(A_0-B_0,A_1-B_1,···,A_n-A_n)$
$A\oplus B=(\sum_{i\oplus j=0}A(i)\times B(j),···,\sum_{i\oplus j=n}A(i)\times B(j))$

首先給出結論：
$or卷積:FWT(A)=\begin{cases}FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1)&n>0\\A&n=0\end{cases}$
$and卷積:FWT(A)=\begin{cases}FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1)&n>0\\A&n=0\end{cases}$
$xor卷積:FWT(A)=\begin{cases}FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1)&n=1\\A&n=0\end{cases}$

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學習了 F F T FFT

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