轉載自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5c6f79380101bbrd.html

那麼真正存在記憶體裡的這個二進位制數，轉化回十進位制，到底是比原先的十進位制數大呢，還是小呢？答案是It depends。人計算十進位制的時候，是四捨五入，計算機再計算二進位制小數也挺簡單，就是0舍1入。對於float，要截斷成為23位，假如卡在24位上的是1，那麼就會造成進位，這樣的話，存起來的值就比真正的十進位制值大了，如果是0，就捨去，那麼存起來的值就比真正的十進位制值小了。因此，這可以合理的解釋一個問題，就是0.6d轉換成float再轉換回double，它的值是0.60000002384185791，這個值是比0.6大的，原因就是 0.6的二進位制科學計數法表示，第24位是1，造成了進位。

種類——-符號位————-指數位—————-尾數位—-
float—–第31位(佔1bit)—第30-23位(佔8bit)—-第22-0位(佔23bit)
double–第63位(佔1bit)—第62-52位(佔11bit)—第51-0位(佔52bit)

取值範圍主要看指數部分：
float的指數部分有8bit(2^8)，由於是有符號型，所以得到對應的指數範圍-128~128。
double的指數部分有11bit(2^11)，由於是有符號型，所以得到對應的指數範圍-1024~1024。

由於float的指數部分對應的指數範圍為-128~128，所以取值範圍為：
-2^128到2128，約等於-3.4E38 — +3.4E38

精度(有效數字)主要看尾數位：
float的尾數位是23bit，對應7~8位十進位制數，所以有效數字有的編譯器是7位，也有的是8位也即一個整數轉換為float的話，會表示成科學計數法，由小數（精度）和指數構成，對0,1四捨五入。

int，又稱作整型，在.net中特指的是Int32，為32位長度的有符號整型變數。 float，單精度浮點數，32位長度，1位符號位，8位指數位與23位資料位，在.net中又稱為Single。double，64位長度的雙精度浮點數，1位符號位，11位指數位，52位資料位。它們互相的關係就是：int可以穩式轉換成float和double，float只能強制轉換成int，但是可以隱式轉換成double，double只能強制轉換成float和int。

在說明問題之前，還很有必要溫習一下計算機組成原理時學習到的一些知識，就是二進位制補碼錶示以及浮點數表示。我想把一個十進位制轉化為二進位制的方法已經不用多費脣舌，只不過為了計算方便以及消除正零與負零的問題，現代計算機技術，記憶體裡存的都是二進位制的補碼形式，當然這個也沒什麼特別的，只不過有某些離散和點，需要特殊定義而已，比如-(2^31)，這個數在int的補碼裡表示成1000…(31個零)，這個生套補碼計算公式並不能得到結果（其實不考慮進位的話還真是這個結果，但是總讓人感覺很怪）。再者，浮點數，其實就是把任何二進位制數化成以0.1….開頭的科學計數法表示而已。

廢話說完，這就出現了幾個問題，而且是比較有意思的問題。

1 int i = Int32.MaxValue;

2 float f = i;

3 int j = (int)f;

4 bool b = i == j;

這裡的b，是false。剛才這個操作，如果我們把float換成long，第一次進行隱式轉換，第二次進行強制轉換，結果將會是true。乍一看，float.MaxValue是比int.MaxValue大了不知道多少倍的，然而這個隱式轉換中，卻造成了資料丟失。int.MaxValue，這個值等於2^{31-1，寫成二進位制補碼形式就是01111…(31個1)，這個數，在表示成float計數的科學計數法的時候，將會寫成+0.1111…(23個1)*2}31，對於那31個1，裡面的最後8個，被float無情的拋棄了，因此，再將這個float強制轉換回 int的時候，對應的int的二進位制補碼錶示已經變成了0111…(23個1)00000000，這個數與最初的那個int相差了255，所以造成了不相等。

那麼提出另一個問題，什麼樣的int變成float再變回來，和從前的值相等呢？這個問題其實完全出在那23位float的資料位上了。對於一個int，把它寫成二進位制形式之後，成為了個一32個長度的0、1的排列，對於這個排列，只要第一個1與最後一個1之前的間距，不超過23，那麼它轉換成 float再轉換回來，兩個值就會相等。這個問題是與大小無關的，而且這個集合在int這個全集下並不連續。

1 double d = 0.6;

2 float f = (float)d;

3 double d2 = f;

4 bool b = d == d2;

這裡的b，也是false。剛才這個操作，如果開始另d等於0.5，結果就將會是true。乍一看，0.6這個數這麼短，double和float都肯定能夠表示，那麼轉換過去再轉換回來，結果理應相等。其實這是因為我們用十進位制思考問題太久了，如果我們0.6化成二進位制小數，可以發現得到的結果是0.10011001……(1001迴圈)。這是一個無限迴圈小數。因此，不管float還是double，它在儲存0.6 的時候，都無法完全儲存它精確的值（計算機不懂分數，呵呵），這樣的話由於float儲存23位，而double儲存52位，就造成了double轉化成 float的時候，丟失掉了一定的資料，非再轉換回去的時候，那些丟掉的值被補成了0，因此這個後來的double和從前的double值已經不再一樣了。

這樣就又產生了一個問題，什麼樣的double轉換成float再轉換回來，兩個的值相等呢？其實這個問題與剛才int的那個問題驚人的相似（廢話，都和float打交道，能不相似麼），只不過我們還需要考慮double比float多了3位的指數位，太大的數double能表示但float 不行。

還有一個算是數學上的問題，什麼樣的十進位制小數，表示成二進位制不是無限小數呢？這個問題可以說完全成為數學範疇內的問題了，但是比較簡單，答案也很明顯，對於所有的最後一位以5結尾的十進位制有限小數，都可以化成二進位制的有限小數（雖然這個小數可能長到沒譜）。

最後，一個有意思有問題，剛才說過0.6表示成為二進位制小數之後，是0.1001並且以1001為迴圈節的無限迴圈小數，那麼在我們將它存成浮點數的時候，一定會在某個位置將它截斷（比如float的23位和double的52位），那麼真正存在記憶體裡的這個二進位制數，轉化回十進位制，到底是比原先的十進位制數大呢，還是小呢？答案是It depends。人計算十進位制的時候，是四捨五入，計算機再計算二進位制小數也挺簡單，就是0舍1入。對於float，要截斷成為23位，假如卡在24位上的是1，那麼就會造成進位，這樣的話，存起來的值就比真正的十進位制值大了，如果是0，就捨去，那麼存起來的值就比真正的十進位制值小了。因此，這可以合理的解釋一個問題，就是0.6d轉換成float再轉換回double，它的值是0.60000002384185791，這個值是比0.6大的，原因就是 0.6的二進位制科學計數法表示，第24位是1，造成了進位。
　　
　　到了這裡，仍然有一事不解，就是對於浮點數，硬體雖然給予了計算上的支援，但是它與十進位制之間的互相轉換，到底是如何做到的呢，又是誰做的呢（彙編器還是編譯器）。這個東西突出體現在存在記憶體裡的數明顯實際與0.6不等，但是無論哪種語言，都能夠在Debug以及輸入的時候，將它正確的顯示成 0.6提供給使用者（程式設計師），最好的例子就是double和ToString方法，如果我寫double d=0.59999999999999999999999999999，d.ToString()給我的是0.6。誠然，對於double來說，我寫的那個N長的數與0.6在記憶體裡存的東西是一樣的，但是計算機，又如果實現了將一個實際與0.6不相等的數變回0.6並顯示給我的呢？

本文來自 tingzhushaohua 的CSDN 部落格 ，全文地址請點選：https://blog.csdn.net/tingzhushaohua/article/details/76691395?utm_source=copy