LogN級別的區間查詢演算法(線段樹), 你學會了嗎
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簡介
線段樹演算法是一種快速查詢一段區間內的資訊的演算法, 由於其實現簡單, 所以廣泛應用於程式設計競賽中。
線段樹是一棵完美二叉樹, 即所有的葉子節點的深度均相同, 並且所有的非葉子節點都有兩個子節點。每個節點維護一個區間, 這個區間為父節點二分後的子區間, 根節點維護整個區間, 葉子節點維護單個元素, 當元素個數為n
時, 對區間的操作都可以在O(log n)
的時間內完成, 因為此時樹的深度為log2 n + 1
, 每次操作只需從葉子節點開始, 往上更新至根節點, 每層只需更新相關的一個區間即可, 操作次數log2 n + 1
O(log n)
的時間內可完成。
可實現的功能
線段樹可以提供不同的功能, 例如最常見的求區間內的最大最小值和求區間內的和, 還有其他類似的功能, 實現思路基本相同
求區間最小值(最小值)
給定任意數列[a0, a1,...,an-1]
, 在O(log n)
的時間內完成下列的兩種操作
query(s, t)
求[as,as+1,...,at-1]
內的最小值(最小值)update(i, x)
把ai
的值改為x
求區間的和
給定初始值全為0
的數列[a0, a1,...,an-1]
, 在O(log n)
的時間內完成下列的兩種操作
query(s, t)
[as,as+1,...,at-1]
內的和add(i, x)
執行ai += x
程式碼實現
這裡我們以求區間最小值
內的最小值為例, 用Python
來實現原始的一棵線段樹
初始化
這裡建立一個數組dat[]
並賦予初始最大值, 為了讓其成為一棵完美的二叉樹, 便於計算, 我們把n
擴大到2的冪
, 由於我們在陣列中填充了int32
的最大整數2147483647
, 所以多餘出來的的元素總是最大值, 不會影響原來區間的結果
def init(self, n): self.INT_MAX = 2147483647 self.n = 1 while self.n < n: self.n *= 2 self.dat = [self.INT_MAX for i in range(2 * self.n - 1)]
更新元素
我們把一棵完美二叉樹壓成一個數組, 下標為i
的子節點為i*2+1 和 i*2+2
, a0
為根節點, 每次更新時, 首先更新葉子節點, 之後一層層往上更新, 節點a[k] = min(a[k * 2 + 1],a[k * 2 + 2])
, 操作在O(log n)
的時間內完成
def update(self, k, a):
k += self.n - 1
self.dat[k] = a
while k > 0:
k = (k - 1) // 2
self.dat[k] = min(self.dat[k * 2 + 1],self.dat[k * 2 + 2])
查詢元素
query
的功能為查詢[a, b)
區間內的最小值, 引數k, l, r
是輔助引數
- k 當前計算的節點
- l, r 當前節點區間的範圍
當[a,b)
, 不在k
節點管理的區間[l, r)
內時, 直接返回INT_MAX
當[a,b)
, 重合於k
節點管理的區間[l, r)
時, 直接返回k
節點的值
否則, 遞迴k
的兩個子節點, 返回其中的最小值
def query(self, a, b, k, l, r):
if r <= a or b <= l:
return self.INT_MAX
if a <= l and r <= b:
return self.dat[k]
else:
vl = self.query(a, b, k * 2 + 1, l, (l + r) // 2)
vr = self.query(a, b, k * 2 + 2, (l + r) // 2, r)
return min(vl, vr)
結尾
至此我們就簡單地實現了一棵線段樹, 這只是線段樹的其中一種形式, 線段樹還有其他的變體。線段樹的使用例項可以看我的另一篇文章https://laboo.top/2018/11/02/acm-lc-45/#more
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