x*(x+1)/2=100層樓，x為最優解

 第二天

題目：扔雞蛋問題

有2個雞蛋，從100層樓上往下扔，以此來測試雞蛋的硬度。比如雞蛋在第9層沒有摔碎，在第10層摔碎了，那麼雞蛋不會摔碎的臨界點就是9層。

問：如何用最少的嘗試次數，測試出雞蛋不會摔碎的臨界點？

舉個栗子，最笨的測試方法，是什麼樣的呢？把其中一個雞蛋，從第1層開始往下扔。如果在第1層沒碎，換到第2層扔；如果在第2層沒碎，換到第3層扔.......如果第59層沒碎，換到第60層扔；如果第60層碎了，說明不會摔碎的臨界點是第59層。

在最壞情況下，這個方法需要扔100次。

方法一：二分法

採用類似於二分查詢的方法，把雞蛋從一半樓層（50層）往下扔。

如果第一枚雞蛋，在50層碎了，第二枚雞蛋，就從第1層開始扔，一層一層增長，一直扔到第49層。

如果第一枚雞蛋在50層沒碎了，則繼續使用二分法，在剩餘樓層的一半（75層）往下扔......

這個方法在最壞情況下，需要嘗試50次。

方法二：平方根法

如何讓第一枚雞蛋和第二枚雞蛋的嘗試次數，儘可能均衡呢？

很簡單，做一個平方根運算，100的平方根是10。

因此，我們嘗試每10層扔一次，第一次從10層扔，第二次從20層扔，第三次從30層......一直扔到

這樣的最好情況是在第10層碎掉，嘗試次數為 1 + 9 = 10次。

最壞的情況是在第100層碎掉，嘗試次數為 10 + 9 = 19次。

不過，這裡有一個小小的優化點，我們可以從15層開始扔，接下來從25層、35層扔......一直到95層。

這樣最壞情況是在第95層碎掉，嘗試次數為 9 + 9 = 18次。

假設最優的嘗試次數的x次，為什麼第一次扔就要選擇第x層呢？

這裡的解釋會有些燒腦，請小夥伴們坐穩扶好：

假設第一次扔在第x+1層：

如果第一個雞蛋碎了，那麼第二個雞蛋只能從第1層開始一層一層扔，一直扔到第x層。

這樣一來，我們總共嘗試了x+1次，和假設嘗試x次相悖。由此可見，第一次扔的樓層必須小於x+1層。

假設第一次扔在第x-1層：

如果第一個雞蛋碎了，那麼第二個雞蛋只能從第1層開始一層一層扔，一直扔到第x-2層。

這樣一來，我們總共嘗試了x-2+1 = x-1次，雖然沒有超出假設次數，但似乎有些過於保守。

假設第一次扔在第x層：

如果第一個雞蛋碎了，那麼第二個雞蛋只能從第1層開始一層一層扔，一直扔到第x-1層。

這樣一來，我們總共嘗試了x-1+1 = x次，剛剛好沒有超出假設次數。

因此，要想盡量樓層跨度大一些，又要保證不超過假設的嘗試次數x，那麼第一次扔雞蛋的最優選擇就是第x層。

方法三：解方程法

x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 = 100

這個方程式不難理解：

左邊的多項式是各次扔雞蛋的樓層跨度之和。由於假設嘗試x次，所以這個多項式共有x項。

右邊是總的樓層數100。

下面我們來解這個方程：

x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 = 100  轉化為

(x+1)*x/2 = 100

最終x向上取整，得到 x = 14

因此，最優解在最壞情況的嘗試次數是14次，第一次扔雞蛋的樓層也是14層。

最後，讓我們把第一個雞蛋沒碎的情況下，所嘗試的樓層數完整列舉出來：

14，27， 39， 50， 60， 69， 77， 84， 90， 95， 99， 100

舉個栗子驗證下：

假如雞蛋不會碎的臨界點是65層，那麼第一個雞蛋扔出的樓層是14，27，50，60，69。這時候啪的一聲碎了。

第二個雞蛋繼續，從61層開始，61，62，63，64，65，66，啪的一聲碎了。

因此得到不會碎的臨界點65層，總嘗試次數是 6 + 6 = 12 < 14 。