Given an integer array nums, find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest product.

Example 1:

Input: [2,3,-2,4]
Output: 6
Explanation: [2,3] has the largest product 6.

Example 2:

Input: [-2,0,-1]
Output: 0
Explanation: The result cannot be 2, because [-2,-1] is not a subarray.
 

Reference Answer

思路分析

這個求最大子陣列乘積問題是由最大子陣列之和問題演變而來，但是卻比求最大子陣列之和要複雜，因為在求和的時候，遇到0，不會改變最大值，遇到負數，也只是會減小最大值而已。而在求最大子陣列乘積的問題中，遇到0會使整個乘積為0，而遇到負數，則會使最大乘積變成最小乘積，正因為有負數和0的存在，使問題變得複雜了不少。。

比如，我們現在有一個數組[2, 3, -2, 4]，我們可以很容易的找出所有的連續子陣列，[2], [3], [-2], [4], [2, 3], [3, -2], [-2, 4], [2, 3, -2], [3, -2, 4], [2, 3, -2, 4], 然後可以很輕鬆的算出最大的子陣列乘積為6，來自子陣列[2, 3].

那麼我們如何寫程式碼來實現自動找出最大子陣列乘積呢，我最先想到的方比較簡單粗暴，就是找出所有的子陣列，然後算出每一個子陣列的乘積，然後比較找出最大的一個，需要兩個for迴圈，第一個for遍歷整個陣列，第二個for遍歷含有當前數字的子陣列，就是按以下順序找出子陣列: [2], [2, 3], [2, 3, -2], [2, 3, -2, 4], [3], [3, -2], [3, -2, 4], [-2], [-2, 4], [4], 我在本地測試的一些陣列全部通過，於是興高采烈的拿到OJ上測試，結果喪心病狂的OJ用一個有15000個數字的陣列來測試，然後說我程式的執行時間超過了要求值，我一看我的程式碼，果然如此，時間複雜度O(n2), 得想辦法只用一次迴圈搞定。我想來想去想不出好方法，於是到網上搜各位大神的解決方法。其實這道題最直接的方法就是用DP來做，而且要用兩個dp陣列，其中f[i]表示子陣列[0, i]範圍內的最大子陣列乘積，g[i]表示子陣列[0, i]範圍內的最小子陣列乘積，初始化時f[0]和g[0]都初始化為nums[0]，其餘都初始化為0。那麼從陣列的第二個數字開始遍歷，那麼此時的最大值和最小值只會在這三個數字之間產生，即f[i-1]*nums[i]，g[i-1]*nums[i]，和nums[i]。所以我們用三者中的最大值來更新f[i]，用最小值來更新g[i]，然後用f[i]來更新結果res即可。

Code

class Solution:
    def maxProduct(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        if len(nums) == 1:
            return nums[0]
        res = max_temp = min_temp = nums[0]
        
        for count in nums[1:]:
            pre_max, pre_min = max_temp, min_temp
            max_temp = max(pre_max*count, count, pre_min*count)
            min_temp = min(pre_max*count, count, pre_min*count)
            res = max(res, max_temp)
        return res
                    

C++ Version

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 1){
            return nums[0];
        }
        int res = nums[0], min_temp = nums[0], max_temp = nums[0];
        for (int i=1; i<nums.size(); ++i){
            int pre_max = max_temp;
            int pre_min = min_temp;
            max_temp = max(max(pre_max*nums[i], nums[i]), pre_min*nums[i]);
            min_temp = min(min(pre_max*nums[i], nums[i]), pre_min*nums[i]);
            res = max(max_temp, res);
                
        }
        return res;
    }
};

Note

• 這種應多複雜情況採用採用多個dp陣列記錄狀態的做法很值得學習，後面很多DP問題都是需要借鑑這種多個dp陣列記錄狀態應對複雜場景約束的動態規劃問題!

參考文獻

[1] http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4028713.html