引入

• 眾所周知，線段樹可以維護序列，進行區間操作
• 單點加 + 區間求和
• 區間加 + 區間求和
• 區間加 + 區間乘 + 區間求和
• （省略 $+\infty$ 行）
• 但有些操作不能像上面三個問題一樣通過簡單的打標記 + 提取區間解決
• 而需要用到一些 trick

一、勢能線段樹

• 我們知道，線段樹能夠通過打標記實現區間修改的條件有兩個：
• （1）能夠快速處理標記對區間詢問結果的影響
• （2）能夠快速實現標記的合併
• 但有的區間修改不滿足上面兩個條件
• 但某些修改存在一些奇妙的性質，使得序列每個元素被修改的次數有一個上限
• 可以線上段樹每個節點上記錄一個值，表示對應區間內是否每個元素都達到修改次數上限
• 區間修改時暴力遞迴到葉子節點，如果途中遇到一個節點，這個節點的對應區間內每個元素都達到修改次數上限則在這個節點 return 掉
• 可以證明覆雜度為 $O$
  ( n log ⁡ n × 修 改 次 數
  上 限 ) O(n\log n\times修改次數上限)
• 用幾個簡單的栗子說明一下

一、區間開平方，區間求和

• 一個數 $x$ 被開平方 $O(\log\log x)$ 後會變成 $1$ 或 $0$ ，繼續開根後不變
• 所以線段樹節點上用一個變數記錄是否區間內全為 $1$ 或 $0$
• 修改時遞迴到葉子，如果到達了區間內全為 $1$ 或 $0$ 的節點則 return 掉
• 複雜度 $O(n\log n\log\log x)$

二、區間取模，區間求和

• 一個數 $x$ 對 $p$ 取模，如果 $x\ge p$ 則 $x$ 至少變小一半
• 每個節點維護區間和以及區間最小值
• 區間對 $p$ 取模時仍然遞迴到葉子
• 如果某節點的區間最小值小於 $p$ 則 return 掉
• 複雜度 $O(n\log n\log x)$

三、區間除（下取整），區間加，區間求和

• 區間整除 $1$ 是無效的，直接跳過
• 否則整除一個數會使區間內最大值與最小值的差至少減小一半
• 維護區間最小值和最大值以及區間和，區間加標記
• 整除時遞迴到葉子
• 如果最小值和最大值的差為 $0$ ，則該區間內所有數都相等
• 直接打上標記，注意這時候標記可以處理對區間和的影響
• 複雜度 $O(n\log n\log x)$

二、李超樹 / 李超線段樹 / 超哥線段樹

• 考慮經典問題
• 維護一個二維平面
• 支援橫座標 $[l,r]$ 範圍內插入一條線段，查詢某個橫座標上的最高點
• 換成人話，區間對一個等差數列取 $\max$ ，單點查值
• 線段樹每個節點維護一個標記（一條線段）
• 仍然把 $[l,r]$ 拆成線段樹上不超過 $O(\log n)$ 個區間
• 我們要處理的關鍵問題是標記的合併，也就是兩條線段 $l_1$ ， $l_2$ 放在一起的情況
• 如果在當前節點對應區間 $[l,r]$ 內 $l_1$ 完全在 $l_2$ 之上，則該區間打上標記線段 $l_1$
  
• 如果 $l_2$ 完全在 $l_1$ 之上同理
  
• 最重要的情況： $l_1$ 和 $l_2$ 在橫座標 $mid=\lfloor\frac{l+r}2\rfloor$ 的左邊， $l$ 的右邊位置相交，在 $[l,r]$ 的右半段 $l_2$ 在 $l_1$ 之上
  
• 這時候將 $l_2$ 保留在當前節點上， $l_1$ 的前半段下傳到左子節點
• 注意這時候 $l_1$ 的前半段可能會和左子節點快取的線段相交
• 所以這時候需要往左子節點遞迴
• 還有 $3$ 種情況和上面差不多
• 往交點所在的子節點遞迴，另一半區間內在上方的線段保留，在下方的線段下傳
• 複雜度 $O(n\log^2n)$

三、線段樹維護單調子序列

• 考慮經典問題
• 給定一個序列，支援單點修改
• 詢問給出 $[l,r]$
• 求有多少個 $i\in[l,r]$ 滿足 $i=l$ 或者 $[l,i-1]$ 內任何一個數都不大於第 $i$ 個數
• 換句話說，求 $[l,r]$ 內有多少個位置 $i$ 是 $[l,r]$ 內對應的以 $i$ 為結尾的字首最大值
• 定義函式 $query(u,x)$
• 表示線段樹 $u$ 節點對應區間內，有多少個數不小於 $x$ 且是對應區間的字首最大值
• 線段樹上維護區間最大值
• 如果 $u$ 對應的區間最大值小於 $x$ 則 $query(u,x)=0$
• 設 $u$ 的左右子樹分別為 $lc$ 和 $rc$
• 如果 $lc$ 的最大值小於 $x$ 則 $query(u,x)=query(rc,x)$