斐波那契數列

大家都知道斐波那契數列，現在要求輸入一個整數n，請你輸出斐波那契數列的第n項（從0開始，第0項為0）。n<=39
(百度對斐波那契數列的定義) 斐波那契數列 指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞推的方法定義：F(1)=1，F(2)=1, F(3)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=4，n∈N*）

//遞迴法
  public static int fibonacci(int n){
  	if(n <= 0)
  		return 0;
  	if(n == 1)
  		return
 
 1;
  	return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
  }
  
  //迴圈法（推薦）
  public static int fibonacci2(int n){
  	if(n < 2)
  		return n;
  	int f=0,f1=0,f2=1;
  	for(int i=2; i<=n; i++){
  		f = f1 + f2;
  		f1 = f2;
  		f2 = f;
  	}
  	return f;
  }

青蛙跳臺階問題

一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法（先後次序不同算不同的結果）。
分析：
數一下一層1種跳法，兩層2種跳法，三層3種跳法，四層5種跳法…可以觀察到，從第3個數開始，每個數的值都等於前兩個個數之和。

• 故該問題實質為斐波那契數列求和，遞推公式為 f(n)=f(n-1)+f(n-2);
• 可以考慮，小青蛙每一步跳躍只有兩種選擇：一是再跳一級階梯到達第 i 級階梯，此時小青蛙處於第 i-1 級階梯；
  或者再跳兩級階梯到達第 i 級階梯，此時小青蛙處於第 i-2 級階梯。
  小青蛙跳n層的有f(n)種跳法，跳到n-1層時是分f(n-1)種跳法，跳到n-2層時是f(n-2)種跳法，所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)

public static int jumpFloor(int target){
		if(target < 2)
			return target;
 

		int res=0, f1=1, f2=1;
		for(int i=1; i<target; i++){
			res = f1+f2;
			f1 = f2;
			f2 = res;
		}
		return res;
	}
	public static int jumpFloor2(int target){
		if(target < 0)
			return 0;
		int[] jump = {0,1,2};//1表示一層臺階一種跳法，2表示兩種跳法
		if(target < 3)
			return jump[target];
		return jumpFloor(target-1)+jumpFloor(target-2);
	}

青蛙跳臺階問題（進階）

一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
分析：其實就是斐波那契數列問題。假設f(n)是n個臺階跳的次數。

• f(0)=0,f(1) = 1
• f(2) 會有兩個跳得方式，一次1階或者2階，這回歸到了問題f(1),f(2) = f(2-1) + f(2-2)
• f(3) 會有三種跳得方式，1階、2階、3階，那麼就是第一次跳出1階後面剩下：f(3-1);第一次跳出2階，剩下f(3-2)；第一次3階，那麼剩下f(3-3).因此結論是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)=f(0)+f(1)+f(2)
• f(n)時，會有n種跳的方式，1階、2階…n階，得出結論：
  f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1) => f(n) = 2*f(n-1)
  (因為f（n-1）=f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + …+f(n-2),兩式相減即可得出結論)

//遞迴
	public int JumpFloorII(int target) {
		if (target <= 0)
			return 0;
		if (target == 1)
			return 1;
		return 2 * JumpFloorII(target - 1);
	}
	//迴圈
	public int JumpFloorII2(int target) {
		if (target <= 0)
			return 0;
		if (target == 1)
			return 1;
		int a = 1;
		int b = 2;
		for (int i = 2; i <= target; i++) {
			b = 2 * a;
			a = b;
		}
		return b;

	}