計算幾何旋轉卡殼求凸包直接原理詳解
先提一下最基本最暴力的求凸包直徑的方法吧—列舉。。。好吧。。很多問題都可以用 列舉 這個“萬能”的方法來解決，過程很簡單方便是肯定的，不過在效率上就要差很遠了。 要求一個點集的直徑，即使先計算出這個點集的凸包，然後再列舉凸包上的點對，這樣來求點集直徑的話依然會在凸包上點的數量達到O（n）級別是極大的降低它的效率，也浪費了凸包的優美性質。不過在資料量較小或者很適合時，何必要大費周折的用那些麻煩複雜的演算法呢，列舉依然是解決問題的很好的方法之一。
然後就是今天的旋轉卡殼演算法了。
旋轉卡殼可以用於求凸包的直徑、寬度，兩個不相交凸包間的最大距離和最小距離等。雖然演算法的思想不難理解，但是實現起來真的很容易讓人“卡殼”。
其實簡單來說就是用一對平行線“卡”住凸包進行旋轉。
被一對卡殼正好卡住的對應點對稱為對踵點，對鍾點的具體定義不好說，不過從圖上還是比較好理解的。
可以證明對踵點的個數不超過3N/2個 也就是說對踵點的個數是O(N)的
對踵點的個數也是我們下面解決問題時間複雜度的保證。
卡殼呢，具體來說有兩種情況：
1.
一種是這樣，兩個平行線正好卡著兩個點；
2.
一種是這樣，分別卡著一條邊和一個點。
而第二種情況在實現中比較容易處理，這裡就只研究第二種情況。
在第二種情況中 我們可以看到 一個對踵點和對應邊之間的距離比其他點要大（借用某大神的圖··）
也就是一個對踵點和對應邊所形成的三角形是最大的 下面我們會據此得到對踵點的簡化求法。
下面給出一個官方的說明：
Compute the polygon’s extreme points in the y direction. Call them ymin and ymax. Construct two horizontal lines of support through ymin and ymax. Since this is already an anti-podal pair, compute the distance, and keep as maximum. Rotate the lines until one is flush with an edge of the polygon. A new anti-podal pair is determined. Compute the new distance, compare to old maximum, and update if necessary. Repeat steps 3 and 4 until the anti-podal pair considered is (ymin,ymax) again. Output the pair(s) determining the maximum as the diameter pair(s).
要是真的按這個實現起來就麻煩到吐了。。
根據上面的第二種情況，我們可以得到下面的方法：
如果qa，qb是凸包上最遠兩點，必然可以分別過qa，qb畫出一對平行線。通過旋轉這對平行線，我們可以讓它和凸包上的一條邊重合,如圖中藍色直線，可以注意到，qa是凸包上離p和qb所在直線最遠的點。於是我們的思路就是列舉凸包上的所有邊，對每一條邊找出凸包上離該邊最遠的頂點，計算這個頂點到該邊兩個端點的距離，並記錄最大的值。
直觀上這是一個O(n2)的演算法，和直接列舉任意兩個頂點一樣了。
然而我們可以發現 凸包上的點依次與對應邊產生的距離成單峰函式（如下圖：）
這個性質就很重要啦。
根據這個凸包的特性，我們注意到逆時針列舉邊的時候，最遠點的變化也是逆時針的，這樣就可以不用從頭計算最遠點，而可以緊接著上一次的最遠點繼續計算。於是我們得到了O(n)的演算法。這就是所謂的“旋轉”吧！
利用旋轉卡殼，我們可以在O（n）的時間內得到凸包的對鍾點中的長度最長的點對。
又由於最遠點對必然屬於對踵點對集合 ，那麼我們先求出凸包 然後求出對踵點對集合 然後選出距離最大的即可
程式碼
struct Point
{
double x,y;
};
double cross(Point p1,Point p2,Point p3)
{
return (p2-p1)^(p3-p1);
}
double rotating_calipers(Point p[],int n)
{
int now=1;
p[n]=p[0];
double ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
while(cross(p[i],p[i+1],p[now+1])>cross(p[i],p[i+1],p[now]))
{
now=(now+1)%n;
}
ans=max(ans,max(dist(p[i],p[now]),dist[p[i+1],p[npw+1]]));
}
return ans;
}