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Matlab中插值函式彙總和使用說明

阿新 • • 發佈：2018-12-09

注：該文從連結地址http://blog.sciencenet.cn/blog-457143-679275.html轉載。

MATLAB中的插值函式為interp1，其呼叫格式為：  yi= interp1(x,y,xi,’method’)           

其中x，y為插值點，yi為在被插值點xi處的插值結果；x,y為向量， ‘method’表示採用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有幾種： ‘method’是最鄰近插值， ‘linear’線性插值； ‘spline’三次樣條插值； ‘cubic’立方插值．預設時表示線性插值

    注意：所有的插值方法都要求x是單調的，並且xi不能夠超過x的範圍。

例如：在一 天24小時內，從零點開始每間隔2小時測得的環境溫度資料分別為

            12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，

推測中午12點（即13點）時的溫度．

x=0:2:24;        y=[12   9   9   10   18  24   28   27   25   20  18  15  13];

a=13;       y1=interp1(x,y,a,’spline’)

結果為：  27.8725

若要得到一天24小時的溫度曲線，則：

xi=0:1/3600:24;

yi=interp1(x,y,xi, ‘spline’);

plot(x,y,’o’ ,xi,yi)

命令1 interp1功能 一維資料插值（表格查詢）。該命令對資料點之間計算內插值。它找出一元函式f(x)在中間點的數值。其中函式f(x)由所給資料決定。x：原始資料點Y：原始資料點xi：插值點Yi：插值點格式(1)yi = interp1(x,Y,xi) 返回插值向量yi，每一元素對應於參量xi，同時由向量x 與Y 的內插值決定。參量x 指定資料Y 的點。若Y 為一矩陣，則按Y 的每列計算。yi 是階數為length(xi)*size(Y,2)的輸出矩陣。(2)yi = interp1(Y,xi) 假定x=1:N，其中N 為向量Y 的長度，或者為矩陣Y 的行數。
(3)yi = interp1(x,Y,xi,method) 用指定的演算法計算插值：’nearest’：最近鄰點插值，直接完成計算；’linear’：線性插值（預設方式），直接完成計算；’spline’：三次樣條函式插值。對於該方法，命令interp1 呼叫函式spline、ppval、mkpp、umkpp。這些命令生成一系列用於分段多項式操作的函式。命令spline 用它們執行三次樣條函式插值；’pchip’：分段三次Hermite 插值。對於該方法，命令interp1 呼叫函式pchip，用於對向量x 與y 執行分段三次內插值。該方法保留單調性與資料的外形；’cubic’：與’pchip’操作相同；’v5cubic’：在MATLAB 5.0 中的三次插值。對於超出x 範圍的xi 的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值演算法，相應地將返回NaN。對其他的方法，interp1 將對超出的分量執行外插值演算法。(4)yi = interp1(x,Y,xi,method,’extrap’) 對於超出x 範圍的xi 中的分量將執行特殊的外插值法extrap。(5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) 確定超出x 範圍的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。例1 

  1. >>x = 0:10; y = x.*sin(x);

  2. >>xx = 0:.25:10; yy = interp1(x,y,xx);

  3. >>plot(x,y,’kd’,xx,yy)

複製程式碼 例2 

  1. >> year = 1900:10:2010;

  2. >> product = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505

  3. 249.633 256.344 267.893 ];

  4. >>p1995 = interp1(year,product,1995)

  5. >>x = 1900:1:2010;

  6. >>y = interp1(year,product,x,’pchip’);

  7. >>plot(year,product,’o’,x,y)

複製程式碼 插值結果為： 

  1. p1995 =

  2. 252.9885

複製程式碼 命令2 interp2功能 二維資料內插值（表格查詢）格式 (1)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI) 返回矩陣ZI，其元素包含對應於參量XI 與YI（可以是向量、或同型矩陣） 的元素， 即Zi(i,j) ←[Xi(i,j),yi(i,j)]。使用者可以輸入行向量和列向量Xi 與Yi，此時，輸出向量Zi 與矩陣meshgrid(xi,yi)是同型的。同時取決於由輸入矩陣X、Y 與Z 確定的二維函式Z=f(X,Y)。參量X 與Y 必須是單調的，且相同的劃分格式，就像由命令meshgrid 生成的一樣。若Xi與Yi 中有在X 與Y範圍之外的點，則相應地返回nan（Not a Number）。(2)ZI = interp2(Z,XI,YI) 預設地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一種情形進行計算。(3)ZI = interp2(Z,n) 作n 次遞迴計算，在Z 的每兩個元素之間插入它們的二維插值，這樣，Z 的階數將不斷增加。interp2(Z)等價於interp2(z,1)。(4)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) 用指定的演算法method 計算二維插值：’linear’：雙線性插值演算法（預設演算法）；’nearest’：最臨近插值；’spline’：三次樣條插值；’cubic’：雙三次插值。例3： 

  1. >>[X,Y] = meshgrid(-3:.25:3);

  2. >>Z = peaks(X,Y);

  3. >>[XI,YI] = meshgrid(-3:.125:3);

  4. >>ZZ = interp2(X,Y,Z,XI,YI);

  5. >>surfl(X,Y,Z);hold on;

  6. >>surfl(XI,YI,ZZ+15)

  7. >>axis([-3 3 -3 3 -5 20]);shading flat

  8. >>hold off

複製程式碼 例4： 

  1. >>years = 1950:10:1990;

  2. >>service = 10:10:30;

  3. >>wage = [150.697 199.592 187.625

  4. 179.323 195.072 250.287

  5. 203.212 179.092 322.767

  6. 226.505 153.706 426.730

  7. 249.633 120.281 598.243];

  8. >>w = interp2(service,years,wage,15,1975)

複製程式碼 插值結果為： 

  1. w =

  2. 190.6288

複製程式碼 命令3 interp3功能 三維資料插值（查表）格式 (1)VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) 找出由參量X,Y,Z決定的三元函式V=V(X,Y,Z)在點（XI,YI,ZI）的值。參量XI,YI,ZI 是同型陣列或向量。若向量參量XI,YI,ZI 是不同長度，不同方向（行或列）的向量，這時輸出參量VI 與Y1,Y2,Y3 為同型矩陣。其中Y1,Y2,Y3 為用命令meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型陣列。若插值點(XI,YI,ZI)中有位於點(X,Y,Z)之外的點，則相應地返回特殊變數值NaN。(2)VI = interp3(V,XI,YI,ZI) 預設地， X=1:N ，Y=1:M， Z=1：P ，其中，[M,N,P]=size(V)，再按上面的情形計算。(3)VI = interp3(V,n) 作n 次遞迴計算，在V 的每兩個元素之間插入它們的三維插值。這樣，V 的階數將不斷增加。interp3(V)等價於interp3(V,1)。(4)VI = interp3(……,method) %用指定的演算法method 作插值計算：‘linear’：線性插值（預設演算法）；‘cubic’：三次插值；‘spline’：三次樣條插值；‘nearest’：最鄰近插值。說明 在所有的演算法中，都要求X,Y,Z 是單調且有相同的格點形式。當X,Y,Z 是等距且單調時，用演算法’*linear’，’*cubic’，’*nearest’，可得到快速插值。例5 

  1. >>[x,y,z,v] = flow(20);

  2. >>[xx,yy,zz] = meshgrid(.1:.25:10, -3:.25:3, -3:.25:3);

  3. >>vv = interp3(x,y,z,v,xx,yy,zz);

  4. >>slice(xx,yy,zz,vv,[6 9.5],[1 2],[-2 .2]); shading interp;colormap cool

複製程式碼 命令4 interpft功能 用快速Fourier 演算法作一維插值格式 (1)y = interpft(x,n) 返回包含周期函式x 在重取樣的n 個等距的點的插值y。若length(x)=m，且x 有采樣間隔dx，則新的y 的取樣間隔dy=dx*m/n。注意的是必須n≥m。若x 為一矩陣，則按x 的列進行計算。返回的矩陣y 有與x 相同的列數，但有n 行。(2)y = interpft(x,n,dim) 沿著指定的方向dim 進行計算命令5 griddata功能 資料格點格式 (1)ZI = griddata(x,y,z,XI,YI) 用二元函式z=f(x,y)的曲面擬合有不規則的資料向量x,y,z。griddata 將返回曲面z 在點（XI,YI）處的插值。曲面總是經過這些資料點（x,y,z）的。輸入參量（XI,YI）通常是規則的格點（像用命令meshgrid 生成的一樣）。XI 可以是一行向量，這時XI 指定一有常數列向量的矩陣。類似地，YI 可以是一列向量，它指定一有常數行向量的矩陣。(2)[XI,YI,ZI] = griddata(x,y,z,xi,yi) 返回的矩陣ZI 含義同上，同時，返回的矩陣XI,YI 是由行向量xi 與列向量yi 用命令meshgrid 生成的。(3)[XI,YI,ZI] = griddata(…….,method) 用指定的演算法method 計算：‘linear’：基於三角形的線性插值（預設演算法）；‘cubic’： 基於三角形的三次插值；‘nearest’：最鄰近插值法；‘v4’：MATLAB 4 中的griddata 演算法。命令6 spline功能 三次樣條資料插值格式 (1)yy = spline(x,y,xx) 對於給定的離散的測量資料x,y（稱為斷點），要尋找一個三項多項式y = p(x) ，以逼近每對資料(x,y)點間的曲線。過兩點(xi, yi) 和(xi+1, yi+1) 只能確定一條直線，而通過一點的三次多項式曲線有無窮多條。為使通過中間斷點的三次多項式曲線具有唯一性，要增加兩個條件（因為三次多項式有4 個係數）：a．三次多項式在點(xi, yi) 處有： p¢i(xi) = p¢i(xi) ；b．三次多項式在點(xi+1, yi+1) 處有： p¢i(xi+1) = pi¢(xi+1) ；c．p(x)在點(xi, yi) 處的斜率是連續的（為了使三次多項式具有良好的解析性，加上的條件）；d．p(x)在點(xi, yi) 處的曲率是連續的；對於第一個和最後一個多項式，人為地規定如下條件：①． p¢1¢(x) = p¢2¢(x)②． p¢n¢(x) = p¢n¢-1(x)上述兩個條件稱為非結點(not-a-knot)條件。綜合上述內容，可知對資料擬合的三次樣條函式p(x)是一個分段的三次多項式：ï ïîï ïí죠££ ££ £=n n n+12 2 31 1 2p (x) x x xp (x) x x xp (x) x x xp(x)L L L L其中每段pi(x) 都是三次多項式。該命令用三次樣條插值計算出由向量x 與y 確定的一元函式y=f(x)在點xx 處的值。若參量y 是一矩陣，則以y 的每一列和x 配對，再分別計算由它們確定的函式在點xx 處的值。則yy 是一階數為length(xx)*size(y,2)的矩陣。(2)pp = spline(x,y) 返回由向量x 與y 確定的分段樣條多項式的係數矩陣pp，它可用於命令ppval、unmkpp 的計算。例6對離散地分佈在y=exp(x)sin(x)函式曲線上的資料點進行樣條插值計算： 

  1. >>x = [0 2 4 5 8 12 12.8 17.2 19.9 20]; y = exp(x).*sin(x);

  2. >>xx = 0:.25:20;

  3. >>yy = spline(x,y,xx);

  4. >>plot(x,y,’o’,xx,yy)

複製程式碼 命令7 interpn功能 n 維資料插值（查表）格式 (1)VI = interpn(X1,X2,,,Xn,V,Y1,Y2,⋯,Yn) %返回由參量X1,X2,…,Xn,V 確定的n 元函式V=V(X1,X2,…,Xn)在點（Y1,Y2,…,Yn）處的插值。參量Y1,Y2,…,Yn 是同型的矩陣或向量。若Y1,Y2,…,Yn 是向量，則可以是不同長度，不同方向（行或列）的向量。它們將通過命令ndgrid生成同型的矩陣， 再作計算。若點(Y1,Y2,…,Yn) 中有位於點（X1,X2,…,Xn）之外的點，則相應地返回特殊變數NaN。VI = interpn(V,Y1,Y2,⋯,Yn) %預設地，X1=1:size(V,1)，X2=1:size(V,2)，… ，Xn=1:size(V,n)，再按上面的情形計算。VI = interpn(V,ntimes) %作ntimes 次遞迴計算，在V 的每兩個元素之間插入它們的n 維插值。這樣，V 的階數將不斷增加。interpn(V)等價於interpn(V, 1)。VI = interpn(⋯,method) %用指定的演算法method 計算：‘linear’：線性插值（預設演算法）；‘cubic’：三次插值；‘spline’：三次樣條插值法；‘nearest’：最鄰近插值演算法。命令8 meshgrid功能 生成用於畫三維圖形的矩陣資料。格式 [X,Y] = meshgrid(x,y) 將由向量x，y（可以是不同方向的）指定的區域[min(x)，max(x) ， min(y) ， max(y)] 用直線x=x(i),y=y(j) （ i=1,2,…,length(x) ，j=1,2,…,length(y)）進行劃分。這樣，得到了length(x)*length(y)個點，這些點的橫座標用矩陣X 表示，X 的每個行向量與向量x 相同；這些點的縱座標用矩陣Y 表示，Y 的每個列向量與向量y 相同。其中X,Y可用於計算二元函式z=f(x,y)與三維圖形中xy 平面矩形定義域的劃分或曲面作圖。[X,Y] = meshgrid(x) %等價於[X,Y]=meshgrid(x,x)。[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z) %生成三維陣列X,Y,Z，用於計算三元函式v=f(x,y,z)或三維容積圖。例7 

  1. [X,Y] = meshgrid(1:3,10:14)

複製程式碼 計算結果為： 

  1. X =

  2. 1 2 3

  3. 1 2 3

  4. 1 2 3

  5. 1 2 3

  6. 1 2 3

  7. Y =

  8. 10 10 10

  9. 11 11 11

  10. 12 12 12

  11. 13 13 13

  12. 14 14 14

複製程式碼 命令9 ndgrid功能 生成用於多維函式計算或多維插值用的陣列格式 [X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x1,x2,…,xn) %把通過向量x1,x2,x3…,xn 指定的區域轉換為陣列x1,x2,x3,…,xn 。這樣， 得到了 length(x1)*length(x2)*…*length(xn)個點，這些點的第一維座標用矩陣X1 表示，X1 的每個第一維向量與向量x1 相同；這些點的第二維座標用矩陣X2 表示，X2 的每個第二維向量與向量x2 相同；如此等等。其中X1,X2,…,Xn 可用於計算多元函式y=f(x1,x2,…,xn)以及多維插值命令用到的陣列。[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x) %等價於[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x,x,…,x)命令10 table1功能 一維查表格式 Y = table1(TAB,X0) %返回用表格矩陣TAB 中的行線性插值元素，對X0（TAB的第一列查詢X0）進行線性插值得到的結果Y。矩陣TAB 是第一列包含關鍵值，而其他列包含資料的矩陣。X0 中的每一元素將相應地返回一線性插值行向量。矩陣TAB 的第一列必須是單調的。例8 

  1. >>tab = [(1:4)’ hilb(4)]

  2. >>y = table1(tab,[1 2.3 3.6 4])

複製程式碼 查表結果為： 

  1. >>tab = [(1:4)’ hilb(4)]

  2. >>y = table1(tab,[1 2.3 3.6 4])

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