快速判斷一個數是否是素數(模板)
阿新 • • 發佈:2018-12-09
bool isPrime( int num ) { if(num ==2|| num==3 ) //兩個較小數另外處理 return 1 ; if(num %6!= 1&&num %6!= 5) //不在6的倍數兩側的一定不是質數 return 0 ; int tmp =sqrt(num); for(int i= 5; i <=tmp; i+=6 ) //在6的倍數兩側的也可能不是質數 if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0) //排除所有,剩餘的是質數 return 0 ; return 1 ; }
首先看一個關於質數分佈的規律:大於等於5的質數一定和6的倍數相鄰。例如5和7,11和13,17和19等等;
證明:令x≥1,將大於等於5的自然數表示如下:
······ 6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1 ······
可以看到,不在6的倍數兩側,即6x兩側的數為6x+2,6x+3,6x+4,由於2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),所以它們一定不是素數,再除去6x本身,顯然,素數要出現只可能出現在6x的相鄰兩側。這裡有個題外話,關於孿生素數,有興趣的道友可以再另行了解一下,由於與我們主題無關,暫且跳過。這裡要注意的一點是,在6的倍數相鄰兩側並不是一定就是質數。
此時判斷質數可以6個為單元快進,即將方法(2)(sqrt的方法)迴圈中i++步長加大為6,加快判斷速度,原因是,假如要判定的數為n,則n必定是6x-1或6x+1的形式,對於迴圈中6i-1,6i,6i+1,6i+2,6i+3,6i+4,其中如果n能被6i,6i+2,6i+4整除,則n至少得是一個偶數,但是6x-1或6x+1的形式明顯是一個奇數,故不成立;另外,如果n能被6i+3整除,則n至少能被3整除,但是6x能被3整除,故6x-1或6x+1(即n)不可能被3整除,故不成立。綜上,迴圈中只需要考慮6i-1和6i+1的情況,即迴圈的步長可以定為6,每次判斷迴圈變數k和k+2的情況即可,理論上講整體速度應該會是方法(2)的3倍。