題目：       

給定整數n，取若干個1到n的整數可求和等於整數m，程式設計求出所有組合的個數。 比如當n=6，m=8時，有四種組合：[2,6], [3,5], [1,2,5], [1,3,4]。限定n和m小於120

        一開始沒有什麼解題思路，考慮在迴圈內一遍一遍算，滿足條件了Count++，實際上發現這個過程太複雜，並且要考慮重複的問題。後來發現了一個演算法叫 01揹包問題 ，實際上就是解決這個題目的思想所在。

所以下面先講這個問題：

0-1 揹包問題：給定 n 種物品和一個容量為 C 的揹包，物品 i 的重量是 Wi，其價值為 Vi 。

問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？

我們可以先把這n種物品放到一個數組中用 i 代替：{ 0 , 1 , 2 , 3 , ....., i }

同樣把揹包容量放在一個數組中用 j 代替：{ 0 , 1 , 2 , 3 , ....., j }

設 m[i][j] 為當有 i 種物品，揹包容量為 j 時，揹包中物品的最大總價值。

當考慮物品 i 是否應該放入揹包容量為 j 的時候，我們可以很輕易地得出兩種情況：

（1） j < Wi 的情況，即揹包容量小於物品重量的情況。在這種情況下，很明顯不滿足條件，因此不能拿該物品。

 那麼此時，揹包中物品的總價值就是：m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]  （即總價值和 i -1 種物品時的情況相同）

（2） j >= Wi 的情況，這時揹包容量可以放下第 i 件物品，我們就要考慮拿這件物品是否能獲取更大的價值。

        如果拿取，在拿取該物品的情況下，揹包剩餘容量就變為 j-Wi ，那麼在這容量下，剩餘 i-1種物品的最大價值就是 m[ i-1 ][ j-Wi ] ，也是相當於為第i件物品騰出了w[i]的空間。現在加上該物品，那就加上它的價值Vi。

得出 m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + Vi   

        如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿還是不拿，自然是比較這兩種情況那種價值最大：max { m[ i-1 ][ j ] , m[ i-1 ][ j-Wi ]  + Vi) }

這裡，我們就推出了該演算法的核心方程，稱之為狀態轉移方程：

狀態轉移方程：m[i,j]=max { m [ i-1 , j ] , m [ i-1 , j-wi ] +vi }

可以舉個例子：

畫出下面的價值表格，可以很容易初始化（當揹包容量為 0 或者物品數量為 0 時，價值都為0）：

然後開始根據上面解釋過的策略開始填值：

自己跟著思路填一遍，就會有所啟發。可以自己隨意舉例填表。

言歸正傳

現在回頭看迅雷的筆試題，是不是覺得很熟悉了。

同樣可以很容易地畫出表格：

下面給出我的一個程式碼，用遞迴解決：

int Practice::ComboNumber(int m, int n)
{
    if(m <1|| n<1)  //m或n為0，無組合
        return 0;  

    int count = 0;

    if(m < n)
    {
        count += ComboNumber(m-1,n);    //m-1情況的組合數
        count += ComboNumber(m-1,n-m);  //再加上n-1,n=n-m時候組合
    }
    else if(m == n)
    {
        count+=ComboNumber(m-1,n);  //m-1情況的組合數
        count++;                    //再加上本身為一種組合
    }
    else if(m>n)
        count+=ComboNumber(m-1,n);  //跟m-1時組合數相同

    return count;
}

對照著表格，你會發現規律的。