Butterworth低通濾波器
阿新 • • 發佈:2018-12-09
Butterworth LPF
公式
利用一下方程得到一個和影象相同尺寸的濾波器
,進行濾波:
其中
是一個常數,我們稱為截止頻率
D(u, v)定義如下:
即在頻率域中的點距離中心的距離。(通過對空域做中心變換後,我們在經過快速傅立葉變換之後得到的影象的中心將會是
,中心變換操作可以通過和
做相關得到,可以通過傅立葉變換的平移性得到)
濾波效果
從頻域的角度來看,觀察我們用來構造濾波器的公式,當維度
保持不變時,隨著截止頻率
的增大,分母越小,分母的增加速度也越小,也就是濾波器從中心往周圍擴散的下降趨勢變小了,變得較為平坦,我們可以從下圖影象的濾波器的變化可以看出,濾波器亮度高的部分逐漸展開變寬。這也意味著更多的高頻成分被保留了,影象的細節也就越明顯了。
從空域的角度來看,考慮高斯低通濾波器,再考慮高斯濾波器的傅立葉變換,高斯濾波器的傅立葉變換之後還是一個高斯濾波器,那麼顯然,高斯濾波器傅立葉反變換之後的結果也是一個高斯濾波器,也就是在空域中。Butterworth低通濾波器結構與效果和高斯低通濾波器相似,那麼,當我們對Butterworth反變換與影象在空域中進行卷積,也將會類似在空域中進行高斯濾波後的效果,即對圖片進行平滑操作,影象會變得模糊。參考一下空域卷積和到頻域的轉換式子:
即,空域的卷積相當於頻域率的逐點相乘的結果,反過來也就是說,在頻域中進行Butterworth濾波,相當於對Butterworth濾波器反變換到空域中和影象做卷積。