高階統計量部分

$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是從總體 $X$ 中抽取的容量為 $n$ 的一個樣本，如果由此樣本構造一個函式 $T (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ ，不依賴於任何未知引數，則稱函式 $T (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ 是一個統計量。通常，又稱函式 $T (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ 為樣本統計量。當獲取樣本的一組具體觀測值 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 時，代入 $T$ ，計算出 $T (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ 的數值，就獲得了一個具體的統計量值。

在陣列訊號處理中，高階統計量是一種很好的訊號處理工具。下面簡要介紹高階統計量的定義及其特性。

1. 高階矩、累積量

高階統計量通常包括高階累積量和高階矩以及它們相應的譜（高階累積量譜和高階矩譜）這 4 種主要統計量。它們都描述了隨機過程的數字特徵。

對於隨機變數 $x$ ，其概率密度函式為 $f (x)$ ，其第一特徵函式和第二特徵函式分別為

\begin{aligned} Φ (w) & = E {e^{j w x}} = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{j w x} d x \\ Ψ (w) & = \ln Φ (w) \end{aligned}

第一特徵函式也叫矩生成函式，第二特徵函式也叫累積量生成函式。在這裡先求出矩生成函式的

k

階導數：

\begin{aligned} Φ^{k} (w) & = \frac{\partial^{k} Φ (w)}{\partial w^{k}} \\ = (j x)^{k} \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{j w x} d x \\ = j^{k} \int_{- \infty}^{\infty} x^{k} f (x) e^{j w x} d x \\ = j^{k} E (x^{k} e^{j w x}) \end{aligned}

於是定義其矩函式為：

\begin{aligned} m_{k} & = E (x^{k}) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{k} f (x) e^{j 0 x} d x \\ = (- j)^{k} [j^{k} \int_{- \infty}^{\infty} x^{k} f (x) e^{j 0 x} d x] \\ = (- j)^{k} Φ^{k} (0) \end{aligned}

陣列訊號基礎：高階統計量部分

高階統計量部分

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