[work] python中的除法，取整和求模
首先註明：如果沒有特別說明，以下內容都是基於python 3.4的。
先說核心要點：
1. /是精確除法，//是向下取整除法，%是求模
2. %求模是基於向下取整除法規則的
3. 四捨五入取整round, 向零取整int, 向下和向上取整函式math.floor, math.ceil
4. //和math.floor在CPython中的不同
5. /在python 2 中是向下取整運算
6. C中%是向零取整求模。
如果你對上面這幾點都很熟悉，那麼就不要浪費時間往下看了，珍惜生命，遠離氾濫的灌水文章！
大綱如下：
1. 一個測試程式和它的輸出
2. 取整和求模運算規則
3. python中其他的取整運算
4. //和math.floor在CPython中的不同
5. 運算子/在python 2 和python 3 中的區別
6. 其他討論(求餘和求模)
下面按順序介紹：
1. 一個測試程式和它的輸出
測試程式如下(python 3.4)：
print('usage of 3 operators /, // and % in python 3.4') print('1). usage of /') print ('10/4 = ', 10/4) print ('-10/4 = ', -10/4) print ('10/-4 = ', 10/-4) print ('-10/-4 = ', -10/-4) print('\n2). usage of //') print ('10//4 = ', 10//4) print ('-10//4 = ', -10//4) print ('10//-4 = ', 10//-4) print ('-10//-4 = ', -10//-4) print('\n3). usage of %') print ('10%4 = ', 10%4) print ('-10%4 = ', -10%4) print ('10%-4 = ', 10%-4) print ('-10%-4 = ', -10%-4)
輸出結果如下：
usage of 3 operators /, // and % in python 3.4
1). usage of /
10/4 = 2.5
-10/4 = -2.5
10/-4 = -2.5
-10/-4 = 2.5
2). usage of //
10//4 = 2
-10//4 = -3
10//-4 = -3
-10//-4 = 2
3). usage of %
10%4 = 2
-10%4 = 2
10%-4 = -2
-10%-4 = -2如果被除數和除數都是正整數，比如10對4求模，一般人都能算出來是2，但是如果兩個或其中一個是負數，比如-10對4求模，取整除法和模應該如何計算呢？雖然我們可以從上面的輸出總結一個現象律：模和除數同號(除非能整除是模是0)
2.取整和求模運算規則
求模運算規則是由除法規則定的，因為被除數(dividend), 除數(divisor)，商(quotient)和模(或餘數，modulus or remainder)在數學上必須滿足如下關係：
被除數=除數*商+模 (方程1)
變化一下，已知被除數和餘數，模可以通過商計算出來，計算公式如下：
模=被除數-除數*商 (方程2)
從wiki(https://en.wikipedia.org/wiki/Modulo_operation)查到三種不同的演算法，這裡拷貝了其中的一張圖(只有英文版）
圖1：三種不同的演算法 。圖中紅線表示商，綠線表示模。橫座標表示被除數，縱座標表示商或模。
這幅圖可以分成三行兩列，共6個子圖。三行trancated/floored/Euclidean division代表三種取整除法(下面會討論)；兩列的解釋是：第一列positive divisor, 也就是說除數是正數，第二列negative divisor，除數是負數。那這幅圖到底是什麼意思呢？ 現在拿第二行第一列的子圖解釋一下 (floored division, positive divisor)，這裡的橫座標表示被除數，縱座標表示商或模。這個子圖中除數(divisor)是正數，當被除數也是正數時(比如前面討論的10對4求模），商和餘數都是正數或零；當被除數是負數的時候(比如之前討論的-10對4求模)，採取了向下(負數方向)取整(rounded downwards, , 函式floor的功能)，本來精確除法下答案是 (-10/4 = )-2.5，現在向下取整答案是(-10//4 =) -3，也就是取整後的結果(-3)必須小於等於精確結果(-2.5)， 這時用商和模的關係(方程2)很容易計算出模是2, 這也是前面例子中討論的。這就是python採用的floored division演算法，這個演算法可以說是python的//和%運算符采用的最重要也是唯一的規則(當然還有abs(模) < abs(除數))，對所有的情況都適用(你可以仔細看看開始討論的測試程式和圖1中第二行的兩個子圖)。其它的現象都可以從這個規則中推匯出來。比如我們前面說的python模運算子%的一個現象規律：模要麼與除數同號，要麼是零(能整除的情況下)。其本質是由python採取的向下取整演算法決定的。我們只需要記住python的取整規則是：向下取整！向下取整！向下取整！
另外兩種：第一種truncated division，是向零取整，也就是簡單粗暴地去掉小數部分，C語言採用這種方法(例子見後面的討論)。還有一種是Euclidean division, 這裡不討論了，有興趣的同學可以問度娘或谷哥。
當然還有一種取整法，就是我們耳熟能詳的四捨五入法，:)。
下面接著介紹python中其它的取整方法。
3.python中其他的取整運算
首先說明，取整或模運算(比如a//b, a%b)中, a和b都可以是非整數，比如
-10.6//2.1=-6.0
-10.6//2.1=2.00000…
這也可以歸納到上面所說的向下取整規則中，當然還有一條隱蔽規則：模的絕對值小於除數的絕對值，也就是abs(模) < abs(除數)
python能夠實現基本的四種取整運算：四捨五入，向零取整，向下取整和向上取整。
四捨五入取整函式round
>>>round(3.5)
4
>>>round(-3.5)
-4
>>>round(3.49)
3
>>>round(-3.49)
-3向零取整函式int
>>>int(3.99)
3
>>>int (-3.99)
-3math模組中向下取整函式floor和向上取整函式ceil
>>>from math import floor, ceil
>>>floor(3.99)
3
>>>floor(-3.-1)
-4
>>>ceil(3.01)
4
>>>ceil(-3.99)
-34.//和math.floor在CPython中的不同
從以上討論中可以看出，//和math.floor對除法運算都是向下取整，結果應該相同，比如
>>>from math import floor
>>>3//5 == floor(3/5)
True但是
>>>1//0.05 == floor(1/0.05)
FalseWhat? 不是說好的相同嗎，友誼的小船怎麼說翻就翻呢？
分開測試：
>>> 1/0.05
20.0
>>> 1//0.05
19.0
>>> floor(1/0.05)
20先說結論：這個問題是由於cpython的向下取整除法運算子（//）的實現不是 浮點除法+floor 來實現而是用了（被除數 - 餘數）/除數 導致的。
PS：Jython下可以得到20.0，而PEP裡規定了a // b應該等於round(a/b)，所以似乎這是cpython實現的一個bug？
首先先分析下1 / 0.05究竟應該等於多少。答案就是精確的20.0。簡單解釋下：IEEE754浮點數規定，如果一個浮點數的值不能被精確記錄，那麼它的值會被記成與這個數距離最近的可以被IEEE浮點數表示的數。首先，0.05在二進位制下是無限迴圈小數，自然不能被精確記錄，因此0.05這個浮點數的實際值是不等於0.05的，實際值是約為0.05 + 2.7e-18。之後做浮點除法，實際上做的是1 / (0.05+2.7…e-18)，這個除法的結果大約是20 - 1.1e-15。這個值也不能被精確表示，恰好離這個數最近的可以表示的值就是20.0，因此即使有浮點數誤差結果也是精確的20.0。既然1/0.05就是20.0，那麼對他做floor運算自然也是20了。
現在的問題就是為什麼1 // 0.05會變成19.0，要解決這個問題只能翻原始碼看//運算子的實現。
這裡不貼原始碼了，結論是：cpython中x // y的實現實際上是round((x - fmod(x, y)) / y) ，其中fmod函式是求兩個浮點數相除的餘數。
這樣一來就解釋的通了：在十進位制下，顯然1除以0.05的餘數應該是0.0。然而在IEEE浮點數環境中，0.05的實際值是約0.05 + 2.7e-18，略大於0.05，這樣一來1除以這個數的餘數就成了約0.05 - 5e-17，從1中減掉這麼多之後就只剩0.95了，除以0.05再round後變成19.0。
注：這段主要參考知乎上的一篇文章(http://www.zhihu.com/question/41017093/answer/89848433)，如有興趣，大家可檢視，裡面有原始碼。
5.運算子/在python 2 和python 3 中的區別
//和%運算子在2和3版本中一樣，但是運算子/不一樣，最開始的測試程式中和運算子/有關的部分在python 2.7中的輸出結果是這樣的：
print ('10/4 = ', 10/4)
print ('-10/4 = ', -10/4)
print ('10/-4 = ', 10/-4)
print ('-10/-4 = ', -10/-4)('1
輸出：
('10/4 = ', 2)
('-10/4 = ', -3)
('10/-4 = ', -3)
('-10/-4 = ', 2)除了大家熟知的print用法不一樣外，這裡要說的是運算子/在python 3以前的版本是向下取整（等同於//），這是大家要注意的。
6.其他討論(求餘和求模)
一篇文章(http://blog.sina.com.cn/s/blog_a3052b4a01018fd7.html)討論求餘和求模的區別 , 原文中列了一個表格，我拷貝在下面 
原作者認為： 取模運算時，向0 方向舍入(fix()函式)； 求餘運算時，向無窮小方向舍入(floor()函式)。
還有一篇文章(http://www.cnblogs.com/xfzhang/archive/2010/11/25/1887214.html)，討論在matlab中取模（mod）與取餘（rem）的不同。
不能說這些觀點本身有什麼錯誤，matlab 也確實給出了兩個不同的函式，細化了區別。但我卻認為這樣處理把問題複雜化了，我們沒有必要在文字上鑽牛角尖，非得人為區分“求餘”和”求模”。我們就可以簡單地認為兩者相同，比如統一用”求模” 表示(當然你也可以用“求餘”)，只是在數學運算和不同程式語言中求模時存在不同的取整演算法，主要是上面討論的三種：truncated division, floored division, Euclidean division。 C語言用的是truncated division, 而python用的是floored division.