作者：石川，量信投資創始合夥人，清華大學學士、碩士，麻省理工學院博士；精通各種概率模型和統計方法，擅長不確定性隨機系統的建模及優化。知乎專欄：https://zhuanlan.zhihu.com/mitcshi。已獲授權

摘要：本文首先介紹了尾部相關性，並以此引出尾部風險平價的概念。從風險的角度來說，一個好的投資組合中應該同時擁有 convergent 和 divergent risk taking 的策略。

1.引言

年底適合聊聊風險。

在《艱難時刻需要堅韌信仰》這篇文章的最後，我們提到了同一大類資產中的不同策略，儘管它們平時的相關性可能很低，但是當極端事件出現時，它們的相關性會驟然上升，同時下跌造成虧損，無法起到分散風險的作用。不同策略在極端情況下的相關性稱為尾部相關性（tail correlation），它是進行資產組合配置時需要考慮的關鍵因素之一。

本文將圍繞尾部風險展開討論。下文首先介紹尾部相關性，之後引出尾部風險平價（tail risk parity）的概念，它被認為比流行的風險平價（risk parity）更能抗風險。最後會介紹兩個平時提的較少的兩個風險概念 —— convergent and divergent risk taking。（抱歉，實在找不出來特別合適的中文翻譯，但我保證會用中文大白話解釋清楚。）

先來看看尾部相關性。

2.尾部相關性

尾部相關性衡量的是不同資產出現極端損失時的相關性。為了計算它，最簡單的辦法可以採用條件概率計算條件相關性。但是，業界主流的做法是通過 VaR（Value at Risk）或者 ES（Expected Shortfall）來反推尾部相關性，這樣得到的結果稱為 VaR-implied tail correlation 或 ES-implied tail correlation。

Liu (2016) 使用 Campbell et al. (2002) 的模型，假設資產 i 的收益率 r_i 分佈滿足如下形式：

其中 μ_i、σ_i 分別為均值和標準差，Z_i 為標準正態分佈。由上述分佈模型以及 VaR 的定義可知，資產 i 的 α 分位數的 VaR 為：

假設某投資組合 P 由兩個資產按照權重 w_1 和 w_2 構成，則根據定義，投資組合 P 的收益率的標準差滿足：

將 VaR 定義中右側的 σ_i 代入上式，並利用 VaR(Z_1) = VaR(Z_2) = VaR(Z_P) 化簡，最終得到兩個資產間的 VaR-implied correlation：

除了上述這種計算方法，業界（Cotter and Longin 2006）還使用另一種更簡化的方法：

這種方法直接使用資產和投資組合的 VaR 進行計算，並不對 r 的分佈做正態假設。它和前一種方法的區別就是計算時是否使用 μ_i。由於 μ_i 的取值較 VaR 通常小一個數量級，因此兩種方法的計算結果非常接近。

值得一提的是，當 VaR 被用來刻畫尾部風險時，其常被人詬病的是它僅僅是一個 α 分位數的取值，衡量的是在給定的概率下損失的最小值、不能準確刻畫收益分佈的左側肥尾。為了解決這個問題，人們提出了 Expected Shortfall（ES，也稱作 Expected Tail Loss）的概念，它是 α 分位數左側尾部風險的均值，相較於 VaR 能夠更好的刻畫尾部風險。

將上述 VaR-implied correlation 根據 ES 的定義做一步擴充套件得到 ES-implied correlation：

來看一個例子。

讓我們來看看滬深 300 指數和標普 500 指數的相關性是否隨尾部風險遞增。假設使用周頻資料，資料的跨度從 2005 年 1 月到 2018 年 11 月。上述兩種資產在這段時期內周頻收益率的相關係數為 0.16。假設按照 w_1 = w_2 = 0.5 的權重配置它們，得到投資組合，以此計算它們之間的 ES-implied correlation。

下圖展示了這兩種資產和投資組合在不同 α 分位數下的 ES。毫無意外地，隨著 α 的減小（代表著尾部事件越來越極端），ES 的虧損幅度也逐漸增大。

下圖是這兩種資產的 ES-implied correlation。隨著尾部事件越來越極端，二者的尾部 correlation 也逐漸增大，且遠遠高於整個回測期內的 0.16。當 α = 1% 時，二者的相關係數高達 0.333；當 α = 0.5% 時，它們的相關係數進一步增大到 0.445。當金融危機出現的時候，誰都難以獨善其身。

3.尾部風險平價

對於大部分常見的資產或者投資策略，它們的收益分佈都有如下的形狀 —— 均值為正，但是左側存在著極端事件造成的巨大虧損，從而造成分佈的負偏。這個分佈通常稱為 Taleb Distribution，以 Nassim Nicholas Taleb 命名；他以黑天鵝一書聞名於世（左側的極端事件則代表了黑天鵝）。

不同資產的尾部相關性遠遠高於它們平時的相關性說明這些資產的左側肥尾往往同時出現（比如 2008 年的金融危機），因此在市場出現危機時無法有效的分散風險。

由於這個原因，人們在配置不同的資產或者投資策略時提出了尾部風險平價（tail risk parity）的概念。它是風險平價的一個延伸（見《你真的搞懂了風險平價嗎？》 —— 我發現這篇文章是 2017 年 12 月 21 日寫的，也是年底）。

尾部風險平價的目標是讓不同資產或策略對投資組合的尾部風險貢獻相同。它更多的是一種理念，而具體實現方法則因人而異。比如，如果直接把風險平價的概念應用到尾部風險平價中，我們可以讓不同資產的權重 w_i 滿足（使用 ES 度量尾部風險）：

舉個例子。假設有三種資產，它們的收益風險特性如下：

按照風險平價和尾部風險平價，這三種資產在投資組合中的權重分別為：

根據這兩種方法配置的投資組合的風險收益特徵為：

上述結果說明，尾部風險平價以犧牲部分收益為代價換取了投資組合更低的尾部風險和波動率。在這個例子中，兩種配置方法的夏普率相同，但從衡量尾部風險控制的指標 μ/ES 來看，尾部風險平價無疑更有優勢。

再來看看另一種尾部風險平價的實現方法。下面這個投資組合在 TLT（US long government bond ETF）和 SPY（S&P 500 Index ETF）之間配置。它使用資產的最大回撤作為評價尾部風險的指標，要求二者對投資組合的最大回撤貢獻相似。最終，它以 70% 和 30% 的比例將資金分配於 TLT 和 SPY 之中。

當不同資產（或策略）的尾部風險在時間上不重疊時（即發生在不同的時期），尾部風險平價則可以發揮出最大的威力。這也體現了大類資產配置的重要性。

4.Convergent vs Divergent Risk Taking

本小節來介紹兩個平時人們可能聽的比較少的概念 —— convergent and divergent risk taking。

在那之前，先讓我們說說聖盃分佈。

上一小節介紹了 Taleb 分佈。如果有一種資產或者投資策略，它的收益分佈滿足期望為正、但肥尾在右側 —— 即“風險有限、收益無限”，我們則稱它的分佈滿足聖盃分佈（Holy Grail distribution）。

每個人都希望找到這樣的收益分佈，它能夠和常見的 Taleb 分佈很好的對衝、分散風險。在極端事件給傳統資產帶來鉅額虧損時，這類策略往往有很好的收益。什麼樣的策略具備這種分佈呢？這需要從策略暴露的風險說起，從而引出我們的主角 —— convergent and divergent risk taking。這兩個術語經常出現在管理期貨中。

任何投資策略想要賺錢，都需要承擔一定的風險。而策略承擔什麼樣的風險就決定了它的收益分佈具備何種的特徵。風險可以被分為 convergent risks 和 divergent risks 兩大類，因此策略也可以被視為 convergent risk taking 和 divergent risk taking 兩大類。

Convergent risks 是那些被人們理解、可通過建模並使用量化手段測量（儘管不一定準確）的風險。

Divergent risks 是哪些未知的風險、無法預測的風險、不能很好的被度量的風險。

當我們構建 convergent risk taking 策略的時候，我們會根據金融學或者經濟學對市場或者投資品的走勢有一個先驗信仰，並以此為判斷做出投資決策。以 long only 的股票投資為例，我們相信股市是經濟的晴雨表，而長期來看經濟會增長、股票則會給我們帶來 risk premium，因此願意承擔其短期波動（可能很大）帶來的風險。這樣的策略就是 convergent risk taking 策略。

另一方面，在構建 divergent risk taking 策略時，人們假設投資品未來的走勢是未知的、不使用任何先驗信仰來輔助判斷投資品會漲還是會跌。如果過去投資品一直漲，但是最近開始跌了，那麼這種型別的策略不會以該投資品過去的走勢為先驗從而認為它還會繼續漲，而是會順應當下的趨勢而認為它還會繼續跌。

在上面提到的兩種不同風險型別的策略中，股市中的價值投資無疑是 convergent risk taking 的代表。這類策略通過深度行業研究挖掘上市公司的內在價值，當價格低於價值時則買入且越低（跌）越買，耐心的等待其價格向價值迴歸、無視短期的波動，這是這類策略願意且主動承擔的風險。

常見於 CTA 中的趨勢追蹤策略或者股市中的動量策略無疑是 divergent risk taking 的代表。這類策略對投資品的內在價值不做任何假設，僅僅是嚴格依據價格的走勢進行交易：價格上漲了做多、價格下跌時做空；當盈利時會逐漸加倉，當虧損時會及時清倉。

Divergent risk taking 策略的收益特徵滿足了聖盃分佈的特性。這就是為什麼趨勢追蹤策略能夠長盛不衰的原因。在趨勢追蹤領域不乏 Winton Group 和 Aspect Capital 這樣的傑出代表。

5.結束

2013 年，Asness、Moskowitz 以及 Pedersen 在 Journal of Finance 上發表了一篇影響深遠的文章，題為 Value and Momentum Everywhere（Asness et al. 2013）。通過上文的描述，不難看出 Value 和 Momentum 恰恰代表了兩大類 risk taking 策略，從風險的角度，它們完美的互補。

有必要指出的是，聖盃分佈是非常美好的，而獲得美好的東西註定是十分困難的。趨勢策略本身是非常反人性的（見《海龜交易法則：逆人性投資》）。趨勢策略最困難的地方在於在趨勢中拿的住單子，讓利潤奔跑（只有這樣才能實現收益率分佈的右尾）。由於認知偏差中造成的對於確定性低收益的過度偏愛，人們總是傾向於早早平掉盈利的單子。市場中有句老話說的是趨勢策略最賺錢的時候一定是交易者最難受的時候。只有克服人性的種種錯誤，才能真正享受到趨勢策略帶來的聖盃分佈。

本文從尾部相關性出發介紹瞭如何基於 VaR 或者 ES 計算在極端事件發生時資產之間的相關性。大量的實證表明，同類甚至是跨大類的資產在市場發生危機的時候相關性都會迅速躥升，導致投資組合的巨大虧損。為了減輕這個問題，尾部風險平價的資產配置方法越來越被投資者認可。該方法以犧牲一定的收益換來危機時更低的虧損，從而提升投資組合的風險收益特徵。

本文的最後指出，從風險的角度來說，一個好的投資組合中應該同時擁有 convergent 和 divergent risk taking 的策略。這兩個概念其實並不是什麼“玄幻”的東西，它們在生活中也很常見。比如在社會交往方面，有的人更喜歡只和少數幾個交心的朋友互動、非常珍視小範圍的朋友圈，這屬於 convergent 行為；而另一些人則更加 social，喜歡和各種各樣的人打交道、交朋友、堅信人生的下一個 big opportunity 就來自某個新朋友，這就屬於 divergent 行為。這兩種行為並無對錯、也各有優缺點；將它們結合起來往往會實現雙贏。希望本文的介紹能帶給你一些啟發，更加科學的分配投資組合暴露的風險。

參考文獻

Asness, C. S., T. J. Moskowitz, and L. H. Pedersen (2013). Value and Momentum Everywhere.Journal of Finance, Vol. 68(3), 929 – 985.

Campbell, R., K. Koedijk, and P. Kofman (2002). Increased correlation in bear markets. Financial Analysts Journal, Vol. 58(1), 87 – 94.

Cotter, J. and F. Longin (2006). Implied correlation from VaR. MPRA paper No. 3506, University College Dublin.

Liu, J. (2016). A new tail-based correlation. Working paper, McGill University.

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